Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Integrale berechnen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$v(t)$ ist eine Geschwindigkeit und $s(t)$ der Ort, also $s' = v$ . Die Fläche unter dem Graphen von $v$ über $[a; b]$ ist die Ortsänderung. Welcher Term passt dazu?

$s(b) - s(a)$
$s(a) - s(b)$

Die Grundidee

Zum Berechnen eines Integrals nimmt man eine Stammfunktion.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist

f

auf

[a; b]

stetig und

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt

\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

Beispiel

Berechne $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$ .

F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x

Eine Stammfunktion.

F(3) - F(1) = 12 - \dfrac{4}{3}

F(3) = 12 und F(1) = 4/3.

= \dfrac{32}{3}

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x$ .

= 8

F(x) = x³: F(2) − F(0).

Üben ★

Berechne $\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{ 9 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{ 8 } x^2\,\mathrm{d}x$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Gib den exakten Wert an.
Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Gib den exakten Wert an.

Berechne $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .

Abschlussaufgabe. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen der Parabel $y = 4 - x^2$ und der x-Achse.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ -2 }^{ 5 } (2x + 8)\,\mathrm{d}x$ .

Merkkarte

Integral berechnen

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$ , mit $F' = f$ .

Achtung: obere Grenze minus untere Grenze; prüfe die Vorzeichen der Stammfunktion.

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