Eine verkettete Ableitung erkennen, um eine Stammfunktion zu finden

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Bekannt ist $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$ . Was ist also eine Stammfunktion von $2x\cos(x^2)$ ?

$\sin(x^2)$
$2x\sin(x^2)$

Die Grundidee

Gesucht ist die Form $v'(u(x)) \cdot u'(x)$ ; eine Stammfunktion davon ist $v(u(x))$ .

Formen zum Erkennen, für differenzierbares $u$ :

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (mit $u > 0$ ); $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n + 1}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$ ; $u'\cos u \to \sin u$ ; $u'\sin u \to -\cos u$ .

Beispiel

Finde eine Stammfunktion von $f(x) = x(x^2 + 1)^4$ .

f(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x(x^2 + 1)^4

Mit u = x² + 1 ist u' = 2x. Es fehlt ein Faktor 2.

F(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}

u'u⁴ hat die Stammfunktion u⁵/5.

F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{10}

Vereinfachen.

Du bist dran

Jetzt du: eine Stammfunktion von $3x^2\mathrm{e}^{x^3}$ .

\mathrm{e}^{x^3}

u = x³ und u' = 3x²: genau die Form u'eᵘ.

Üben ★

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \mathrm{e}^{ 4x }$ mit $F(0) = \dfrac{1}{ 4 }$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \mathrm{e}^{ 3x }$ mit $F(0) = \dfrac{1}{ 3 }$ .

Finde auf $\mathbb{R}$ die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8}$ mit Nullstelle 0.
Finde auf $\mathbb{R}$ die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 9}$ mit Nullstelle 0.

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos(5x)$ mit $F(0) = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Merkkarte

Verkettete Funktionen integrieren

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ .
Fehlt ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus.

Achtung: Ein Faktor $x$ lässt sich nicht ausgleichen, nur ein konstanter Faktor.

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