Gesamtänderung: eine Größe aus ihrer Änderungsrate

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

In einer Badewanne sind 40 L. In 10 Minuten fließen $\displaystyle\int_0^{10} r(t)\,dt = 60$ L zu. Wie viel Wasser ist jetzt in der Wanne?

Das Integral einer Änderungsrate ist die Gesamtänderung des Bestands.

Rekonstruktion des Bestands:

F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt

. Anfangsbestand plus Gesamtänderung.

Eine Stadt hat 5000 Einwohner und wächst mit $r(t) = 200 + 30t$ Personen pro Jahr. Einwohnerzahl nach 4 Jahren?

\displaystyle\int_0^4 (200 + 30t)\,dt = 800 + 240 = 1040

Gesamtänderung.

5000 + 1040 = 6040

Anfangsbestand dazu.

Jetzt du: $F(2) = 7$ und $\displaystyle\int_2^5 F'(x)\,dx = -3$ . Bestimme $F(5)$ .

F(5) = 4

7 + (−3).

$F' = f$ , $F(0) = -1$ und $\displaystyle\int_0^{ 3 } f(x)\,dx = 0$ . Bestimme $F(3)$ .
$F' = f$ , $F(0) = -2$ und $\displaystyle\int_0^{ 6 } f(x)\,dx = -9$ . Bestimme $F(6)$ .
$F' = f$ , $F(0) = 8$ und $\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,dx = -2$ . Bestimme $F(4)$ .

In einem Tank sind 37 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 5 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 57 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 6 + 3t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 5 Minuten im Tank, in Litern?

$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 7 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 7$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 7$

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

In einem Tank sind 37 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 5 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 57 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 6 + 3t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 5 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 38 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 4 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 2 Minuten im Tank, in Litern?

Integral als Gesamtänderung

$F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt$ : Anfangsbestand + Gesamtänderung.

Achtung: Eine momentane Rate ist kein Bestand.

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