Integrale mit Logarithmus; Exponentialfunktionen und Tangens

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In $\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ ist der Zähler die Ableitung des Nenners. Mit $u = x^2 + 1$ wird daraus $\displaystyle\int \dfrac{du}{u}$ . Was ergibt das?

$\ln|u| + C$
$\dfrac{u^0}{0} + C$

Die Grundidee

Drei Muster tauchen immer wieder auf.

\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C

;

\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \dfrac{e^{kx}}{k} + C

;

\displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C

.

Beispiel

$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x + 3}\,dx$ .

u = \sin x + 3

,

du = \cos x\,dx

Der Zähler ist die Ableitung des Nenners.

\ln(\sin x + 3) + C

ln|u|; sin x + 3 > 0.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\int e^{5x}\,dx$ .

\dfrac{e^{5x}}{5} + C

Durch 5 teilen.

Üben ★

Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 2x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 5x}$ und $F(0) = 0$ .

Berechne $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 2}\,dx$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 9}\,dx$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Finde $F$ mit $F'(x) = \tan x$ auf $\left]-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right[$ und $F(0) = 3$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = \tan x$ auf $\left]-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right[$ und $F(0) = -4$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 2x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 5x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 4x}$ und $F(0) = 0$ .

Merkkarte

Nützliche Muster

$\dfrac{g'}{g} \to \ln|g|$ .
$e^{kx} \to \dfrac{e^{kx}}{k}$ .
$\tan x \to -\ln|\cos x|$ .

Achtung: das Minuszeichen aus $du$ .

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