Fläche zwischen Kurven

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^2$ , die blaue Gerade der von $y = kx$ . Zwischen $x = 0$ und $x = k$ schließen sie eine Fläche ein. Verändere $k$ .

Die Gerade y = kx und die Parabel y = x². Sie schneiden sich bei x = 0 und x = k; dazwischen liegt die Gerade oben.

Welcher Graph liegt auf $[0; k]$ oben?

Die Gerade $y = kx$
Die Parabel $y = x^2$

Die Grundidee

Fläche zwischen zwei Graphen: Man integriert die Differenz „oben minus unten“.

Ist

f(x) \geq g(x)

auf

[a; b]

, so ist der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen

\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

. Die Grenzen sind oft die x-Werte der Schnittpunkte.

Beispiel

Inhalt der Fläche zwischen $y = 2x$ und $y = x^2$ .

Grenzen:

0

und

2

2x = x² bei 0 und bei 2.

\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x

Oben minus unten.

= 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}

Stammfunktion x² − x³/3, von 0 bis 2.

Du bist dran

Jetzt du: Inhalt der Fläche zwischen $y = 3x$ und $y = x^2$ .

\dfrac{9}{2}

3³/6.

Üben ★

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 5x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 4x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1x$ und $y = x^2$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 4x - x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 2x - x^2$ .

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1\cos x$ und $y = 1\sin x$ für $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ . Gib den exakten Wert an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 5x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 4x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1x$ und $y = x^2$ .

Merkkarte

Fläche zwischen zwei Graphen

Schnittpunkte bestimmen.
Feststellen, welcher Graph oben liegt.
„Oben minus unten“ integrieren.

Achtung: Ein negatives Ergebnis heißt, dass die Reihenfolge vertauscht ist.

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