Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 13 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Flächeninhalt und bestimmtes Integral

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Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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∫1bdxx2=1−1b\displaystyle\int_1^b \dfrac{dx}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{b}. Für b=10b = 10, 100100, 10001000 ergibt das 0,90{,}9, 0,990{,}99, 0,9990{,}999. Was passiert für b→∞b \to \infty?

  1. Es nähert sich 1
  2. Es wächst über alle Grenzen

Die Grundidee

Ein unbeschränktes Intervall behandelt man mit einem Grenzwert: das uneigentliche Integral.

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. Ist der Grenzwert eine Zahl, so konvergiert das Integral; sonst divergiert es.

Beispiel

∫0∞e−2x dx\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx.

∫0be−2x dx=1−e−2b2\displaystyle\int_0^b e^{-2x}\,dx = \dfrac{1 - e^{-2b}}{2}
Bis b integrieren.
lim⁡b→∞1−e−2b2=12\displaystyle\lim_{b \to \infty} \dfrac{1 - e^{-2b}}{2} = \dfrac{1}{2}
e^{−2b} → 0.
Konvergiert gegen 12\tfrac{1}{2}
Ein endlicher Grenzwert.

Du bist dran

Jetzt du: ∫1∞dxx3\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^3}.

=12= \tfrac{1}{2}
[−1/(2x²)] von 1 bis b → 0 + ½.

Üben ★

  1. Berechne ∫1∞dxx4\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 4 } }.
  2. Berechne ∫1∞dxx3\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 3 } }.
  1. Berechne ∫0∞e−4x dx\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-4x}\,dx.
  2. Berechne ∫0∞e−3x dx\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Was ergibt ∫9∞dxx\displaystyle\int_{ 9 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}?
    1. Es divergiert: ln⁡b→∞\ln b \to \infty
    2. Es konvergiert, weil 1x→0\dfrac{1}{x} \to 0
    3. Es ist ln⁡9\ln 9
  1. Abschlussaufgabe. Berechne ∫0∞xe−1x dx\displaystyle\int_0^{\infty} x e^{-1x}\,dx.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne ∫1∞dxx4\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 4 } }.
  2. Berechne ∫1∞dxx3\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 3 } }.
  3. Berechne ∫1∞dxx2\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 2 } }.

Merkkarte

Uneigentliche Integrale

  1. ∞\infty durch bb ersetzen.
  2. Integrieren.
  3. lim⁡b→∞\lim_{b \to \infty} bilden: Eine Zahl heißt Konvergenz.

Achtung: f→0f \to 0 garantiert keine Konvergenz.

Ende der Lektion

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Lösungen: Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

A

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 12\frac{1}{2}

B

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 13\frac{1}{3}

C

  1. Es divergiert: ln⁡b→∞\ln b \to \infty

D

  1. 11

E

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 11

CC BY-SA 4.0