z-Werte und das Normalverteilungsmodell

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 13 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung

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z-Werte und das Normalverteilungsmodell

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Die blaue Kurve ist die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert mm und Standardabweichung ss. Verändere die beiden Werte.

Eine Glockenkurve mit Erwartungswert m und Standardabweichung s: symmetrisch um m, breiter und flacher, wenn s wächst.

Was passiert mit der Kurve, wenn ss größer wird?

  1. Sie wird breiter und flacher
  2. Sie verschiebt sich nach rechts

Die Grundidee

Zum Vergleichen standardisiert man; dazu kommen die Sigma-Regeln.

Standardisieren: z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma} gibt an, um wie viele Standardabweichungen xx über dem Erwartungswert liegt. Sigma-Regeln für eine Normalverteilung: etwa 68 % der Werte liegen in [μ−σ;μ+σ][\mu - \sigma; \mu + \sigma], 95 % in [μ−2σ;μ+2σ][\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma], 99,7 % in [μ−3σ;μ+3σ][\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma].

Beispiel

Ein Leistungstest hat den Erwartungswert 520 und die Standardabweichung 110. Ein Ergebnis von 685.

z=1,5z = 1{,}5
(685 − 520)/110.
Zwischen 300 und 740: etwa 95 % der Ergebnisse
Innerhalb von 2σ: etwa 95 %.
Über 740: etwa 2,5 %
Die Hälfte der restlichen 5 %.

Du bist dran

Jetzt du: Erwartungswert 70, Standardabweichung 5. Der z-Wert von 62.

z=−1,6z = -1{,}6
(62 − 70)/5.

Üben ★

  1. Testergebnisse haben den Erwartungswert 75 und die Standardabweichung 3. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 52.
  2. Testergebnisse haben den Erwartungswert 55 und die Standardabweichung 2. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 81.
  3. Testergebnisse haben den Erwartungswert 66 und die Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 94.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Körpergrößen sind näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 76 und Standardabweichung 4. Wie viel Prozent liegen nach den Sigma-Regeln zwischen 72 und 84?
  2. Körpergrößen sind näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 69 und Standardabweichung 6. Wie viel Prozent liegen nach den Sigma-Regeln zwischen 63 und 81?
  1. Erwartungswert 71, Standardabweichung 8. Welcher Wert hat den z-Wert −3-3?
  2. Erwartungswert 79, Standardabweichung 6. Welcher Wert hat den z-Wert 33?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Testergebnisse haben den Erwartungswert 75 und die Standardabweichung 3. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 52.
  2. Testergebnisse haben den Erwartungswert 55 und die Standardabweichung 2. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 81.
  3. Testergebnisse haben den Erwartungswert 66 und die Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 94.

Merkkarte

Normalverteilung und Sigma-Regeln

  • z=(x−μ)/σz = (x - \mu)/\sigma; x=μ+zσx = \mu + z\sigma.
  • 68 %, 95 %, 99,7 % innerhalb von 1σ, 2σ, 3σ.

Achtung: Die Prozentsätze gelten für beide Seiten zusammen.

Ende der Lektion

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Lösungen: z-Werte und das Normalverteilungsmodell

A

  1. −233- \frac{23}{3}
  2. 1313
  3. 145\frac{14}{5}

B

  1. 1632\frac{163}{2}
  2. 1632\frac{163}{2}

C

  1. 4747
  2. 9797

D

  1. −233- \frac{23}{3}
  2. 1313
  3. 145\frac{14}{5}

CC BY-SA 4.0