Stetige Verteilungen mit Dichte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$X$ ist eine stetige Zufallsgröße mit einer Dichtefunktion. Wie groß ist $P(X = 2)$ ?

$0$
$f(2)$

Die Grundidee

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion.

$f$ ist eine Dichtefunktion auf $[a; b]$ , wenn $f \geq 0$ und $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ . Dann gilt $P(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d f(x)\,\mathrm{d}x$ .

$F(x) = P(X \leq x)$ ist die Verteilungsfunktion. $E(X) = \displaystyle\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x$ und $Var(X) = \displaystyle\int_a^b (x - E(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Beispiel

$f(x) = 2x$ auf $[0; 1]$ . Berechne $P(X \leq 0{,}5)$ und $E(X)$ .

P(X \leq 0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25

Stammfunktion x².

E(X) = \displaystyle\int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}

Erwartungswert.

Du bist dran

Jetzt du: $f$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Welchen Wert hat $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ ?

1

Gesamtfläche.

Üben ★

$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = kx$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 7]$ . Bestimme $k$ .
$f(x) = kx$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 6]$ . Bestimme $k$ .

$X$ ist eine stetige Zufallsgröße. Wie groß ist $P(X = 2)$ ?
1. 0
2. $f(2)$
3. 1

$f$ ist auf $[0; 6]$ konstant gleich $k$ und eine Dichtefunktion. Wie groß ist $k$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ ist eine Dichtefunktion auf $[0; 1]$ . Berechne $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right)$ .

Merkkarte

Stetige Zufallsgrößen

Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Dichtefunktion.
$P(X = a) = 0$ .

Achtung: Die Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit.

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