Abstände und Hessesche Normalform

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt $P(1|2|7)$ liegt über der Ebene $z = 3$ . Wie groß ist sein Abstand von der Ebene?

Nicht maßstabsgetreu

$P$ $P$ auf die Ebene ist senkrecht, also zählt nur der Unterschied der z-Koordinaten." data-option="1"> $4$
$z = 0$ $z = 0$ . Die Ebene liegt bei $z = 3$ ." data-option="2"> $7$

Die Grundidee

Mit der Hesseschen Normalform liest du Abstände direkt ab.

Teilst du die Koordinatenform $ax + by + cz - d = 0$ durch $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ , erhältst du die Hessesche Normalform $\dfrac{ax + by + cz - d}{|\vec{n}|} = 0$ .

Der Abstand eines Punkts $P(p_1|p_2|p_3)$ von $E$ ist $d(P, E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{|\vec{n}|}$ . Den Abstand zu einer Geraden bestimmst du über den Lotfußpunkt.

Beispiel

Abstand von $P(4|1|3)$ zur Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 3 = 0$ .

|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3

Länge des Normalenvektors.

2 \cdot 4 + 1 + 2 \cdot 3 - 3 = 12

P einsetzen.

d(P, E) = \dfrac{12}{3} = 4

Durch |n| teilen.

Du bist dran

Jetzt du: $E\colon x + 2y + 2z - 1 = 0$ und $P(1|1|1)$ . Berechne $d(P, E)$ .

\dfrac{4}{3}

Einsetzen: 1 + 2 + 2 − 1 = 4; |n| = 3.

\dfrac{4}{3}

Abstand.

Üben ★

Berechne den Abstand des Punkts $P(3|5|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 0 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|2|5)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 2 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|4|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Für die Hessesche Normalform von $E\colon 2x + 4y + 4z - 5 = 0$ teilst du durch $|\vec{n}|$ . Wie groß ist $|\vec{n}|$ ?
Für die Hessesche Normalform von $E\colon 4x + 8y + 8z - 5 = 0$ teilst du durch $|\vec{n}|$ . Wie groß ist $|\vec{n}|$ ?

Die Ebenen $E_1\colon x + 2y + 2z = 14$ und $E_2\colon x + 2y + 2z = 6$ sind parallel. Wie groß ist ihr Abstand?

Mia setzt $P$ in $E\colon 2x + y + 2z - 9 = 0$ ein und erhält $18$ . Wie groß ist der Abstand von $P$ zu $E$ ?
1. $6$
2. $18$
3. $\dfrac{ 18 }{9}$

Abschlussaufgabe. Gegeben sind $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ und $P(3|3|3)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne den Abstand des Punkts $P(3|5|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 0 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|2|5)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 2 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|4|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ .

Merkkarte

Abstände

Hessesche Normalform: Koordinatenform durch $|\vec{n}|$ teilen.
$d(P, E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{|\vec{n}|}$ .
Parallele Ebenen: Abstand eines beliebigen Punkts.

Achtung: Durch $|\vec{n}|$ teilen.

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