Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Gerade trifft eine Ebene. Ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein. Wie hängt der Schnittwinkel $\varphi$ zwischen Gerade und Ebene mit $\alpha$ zusammen (für $\alpha \leq 90°$ )?

Nicht maßstabsgetreu

$\\vec{n}$ $v ec n$ steht senkrecht auf der Ebene, also ergänzen sich die beiden Winkel zu 90°. Deshalb nimmt man den Sinus." data-option="1"> $\varphi = 90° - \alpha$
$\\alpha$ $a l p ha$ ist der Winkel zum Normalenvektor, nicht zur Ebene. Die beiden Winkel ergänzen sich zu 90°." data-option="2"> $\varphi = \alpha$

Die Grundidee

Schnittwinkel berechnest du mit dem Skalarprodukt der passenden Vektoren.

Zwei Geraden (Richtungsvektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ): $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ . Zwei Ebenen: dieselbe Formel mit den Normalenvektoren.

Gerade und Ebene: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ . Der Betrag sorgt dafür, dass $0° \leq \varphi \leq 90°$ .

Beispiel

Berechne den Schnittwinkel der Ebenen mit $\vec{n}_1 = (1|0|0)$ und $\vec{n}_2 = (1|1|0)$ .

\vec{n}_1 \circ \vec{n}_2 = 1

Skalarprodukt.

\cos\varphi = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{2}}

Längen 1 und √2.

\varphi = 45°

Winkel.

Du bist dran

Jetzt du: Gerade mit $\vec{u} = (0|0|2)$ , Ebene $z = 0$ mit $\vec{n} = (0|0|1)$ . Berechne $\sin\varphi$ .

\sin\varphi = \dfrac{2}{2 \cdot 1}

u ∘ n = 2, Längen 2 und 1.

1

Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.

Üben ★

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|5|2)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|1|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|2|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u}$ , die Ebene $E$ den Normalenvektor $\vec{n}$ . Mit welcher Formel berechnest du den Schnittwinkel $\varphi$ von $g$ und $E$ ?
1. $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$
2. $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$
3. $\sin\varphi = |\vec{u} \circ \vec{n}|$

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (3|0|0)$ und $\vec{n}_2 = (4|4|0)$ . Wie groß ist ihr Schnittwinkel in Grad?

Abschlussaufgabe. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (5|10|10)$ , die Ebene $E$ ist $z = 0$ mit $\vec{n} = (0|0|1)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|5|2)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|1|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|2|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .

Merkkarte

Schnittwinkel

Gerade–Gerade und Ebene–Ebene: Kosinus.
Gerade–Ebene: Sinus, mit $\vec{u}$ und $\vec{n}$ .
Immer den Betrag des Skalarprodukts.

Achtung: Gerade und Ebene: Sinus, nicht Kosinus.

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