Periodische Dezimalbrüche

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Jahrgangsstufe 6 › Dezimalbrüche

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Periodische Dezimalbrüche

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Rechne 1:31 : 3 schriftlich. Wie geht es weiter?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 0,333…0{,}333\ldots: Die 3 wiederholt sich immer
  2. 0,3cdot3=0,90{,}3 \\cdot 3 = 0{,}9, nicht 1. Die Division geht unendlich weiter." data-option="2">0,30{,}3: Danach ist Schluss

Die Grundidee

Manche Brüche ergeben Dezimalbrüche, die nie enden.

Ein endlicher Dezimalbruch bricht ab, etwa 38=0,375\dfrac{3}{8} = 0{,}375. Ein periodischer Dezimalbruch wiederholt eine Ziffernfolge immer wieder: 13=0,3‾\dfrac{1}{3} = 0{,}\overline{3}, 111=0,09‾\dfrac{1}{11} = 0{,}\overline{09}. Der Strich steht über der Periode.

Beim Teilen kann nur eine begrenzte Zahl von Resten auftreten. Kommt ein Rest wieder, wiederholen sich auch die Ziffern. Ein gekürzter Bruch ist genau dann endlich, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat.

Beispiel

Schreibe 56\dfrac{5}{6} als Dezimalbruch.

0,8…0{,}8\ldots
5 : 6: erst eine 8, Rest 2.
0,83…0{,}83\ldots
Rest 2 kehrt immer wieder: 3, Rest 2.
0,83‾0{,}8\overline{3}
Mit Strich.

Du bist dran

Jetzt du: Welche Ziffer steht bei 23\dfrac{2}{3} in der Periode?

0,6‾0{,}\overline{6}
2 : 3 = 0,666…
66
Ziffer.

Üben ★

  1. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 23\dfrac{ 2 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  2. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 13\dfrac{ 1 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  1. Schreibe 89\dfrac{ 8 }{9} als periodischen Dezimalbruch. Welche Ziffer steht in der Periode?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 18\dfrac{ 1 }{8} als Dezimalbruch.
  1. Abschlussaufgabe. Untersucht werden die Brüche 34\dfrac{ 3 }{4} und 13\dfrac{1}{3}.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 23\dfrac{ 2 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  2. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 13\dfrac{ 1 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}

Merkkarte

Periodische Dezimalbrüche

  • Endlich: bricht ab.
  • Periodisch: Ziffernfolge wiederholt sich; Strich über der Periode.
  • Nenner nur mit 2 und 5: endlich.

Achtung: 0,3‾0{,}\overline{3} ist genau 13\dfrac{1}{3}, nicht gerundet.

Ende der Lektion

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Lösungen: Periodische Dezimalbrüche

A

  1. 23\dfrac{ 2 }{3}
  2. 13\dfrac{ 1 }{3}

B

  1. 88

C

  1. 18\frac{1}{8}

D

  1. 11

E

  1. 23\dfrac{ 2 }{3}
  2. 13\dfrac{ 1 }{3}

CC BY-SA 4.0