Tangenten an einen Kreis

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Ein Rad rollt auf dem Boden. Der Boden berührt es in einem Punkt. Welchen Winkel bildet die Speiche zu diesem Punkt mit dem Boden?

$90^\circ$
Das hängt von der Geschwindigkeit ab

Die Grundidee

Tangente und Radius stehen senkrecht aufeinander.

Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius. Die beiden Tangentenabschnitte von einem äußeren Punkt sind gleich lang.

Beispiel

Radius 6, Punkt $P$ im Abstand 10 vom Mittelpunkt.

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 10, Kathete 6

Rechter Winkel im Berührpunkt.

Tangentenabschnitt 8

√(100 − 36).

Du bist dran

Jetzt du: Radius 5, Abstand 13. Der Tangentenabschnitt.

12

√(169 − 25).

Üben ★

Ein Kreis hat den Radius 6. Der Punkt $P$ ist 10 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von $P$ zum Kreis.
Ein Kreis hat den Radius 3. Der Punkt $P$ ist 5 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von $P$ zum Kreis.

Eine Gerade berührt einen Kreis mit dem Radius 7 in genau einem Punkt $T$ . Welchen Winkel bilden die Gerade und der Radius zu $T$ ?
1. $90^\circ$
2. Das hängt vom Radius ab
3. $0^\circ$ : Sie liegen aufeinander

Vorsicht!

Üben ★★

Zwei Tangenten von $P$ berühren einen Kreis (Mittelpunkt $O$ ) in $A$ und $B$ , mit $\angle APB = 61^\circ$ . Bestimme $\angle AOB$ (in Grad).
Zwei Tangenten von $P$ berühren einen Kreis (Mittelpunkt $O$ ) in $A$ und $B$ , mit $\angle APB = 76^\circ$ . Bestimme $\angle AOB$ (in Grad).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Kreis hat den Radius 6. Der Punkt $P$ ist 10 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von $P$ zum Kreis.
Ein Kreis hat den Radius 3. Der Punkt $P$ ist 5 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von $P$ zum Kreis.
Ein Kreis hat den Radius 12. Der Punkt $P$ ist 20 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von $P$ zum Kreis.

Merkkarte

Tangenten

Tangente ⊥ Radius; Tangentenabschnitte von einem Punkt sind gleich lang.

Achtung: ein rechtwinkliges Dreieck, keine Subtraktion.

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