Satz und Kehrsatz

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Satz: „Ist ein Viereck ein Quadrat, so hat es vier gleich lange Seiten.“ Gilt auch: „Hat ein Viereck vier gleich lange Seiten, so ist es ein Quadrat“?

Nicht maßstabsgetreu

Nein: Auch eine Raute hat vier gleich lange Seiten
Ja: Das ist derselbe Satz

Die Grundidee

Vertauscht man Voraussetzung und Behauptung, entsteht der Kehrsatz.

Ein Satz hat die Form „Wenn $A$ , dann $B$ “: $A$ ist die Voraussetzung, $B$ die Behauptung. Der Kehrsatz lautet „Wenn $B$ , dann $A$ “.

Ein Kehrsatz kann wahr oder falsch sein; er braucht einen eigenen Beweis. Sind Satz und Kehrsatz wahr, schreibt man „genau dann, wenn“. Ein Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage zu widerlegen.

Beispiel

Satz: „In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.“

A

: gleichschenklig;

B

: Basiswinkel gleich

Voraussetzung und Behauptung benennen.

Kehrsatz: Sind zwei Winkel gleich groß, ist das Dreieck gleichschenklig.

Tauschen.

Also: gleichschenklig genau dann, wenn zwei Winkel gleich groß sind.

Auch dieser Kehrsatz ist wahr.

Du bist dran

Jetzt du: Satz: „Ist eine Zahl durch 4 teilbar, so ist sie gerade.“ Nenne die kleinste positive Zahl, die den Kehrsatz widerlegt.

Gerade, aber nicht durch 4 teilbar

Sie muss gerade sein und nicht durch 4 teilbar.

2

Gegenbeispiel.

Üben ★

Wie lautet der Kehrsatz von „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Winkel gleich groß“?
1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig
2. Wenn ein Dreieck nicht gleichseitig ist, dann sind nicht alle Winkel gleich groß
3. Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang

Satz: „Ist ein Viereck ein Rechteck, so sind seine Diagonalen gleich lang.“ Ist der Kehrsatz wahr?
1. Nein: Auch ein gleichschenkliges Trapez hat gleich lange Diagonalen
2. Ja, denn der Satz ist wahr
3. Ja, denn alle Vierecke haben gleich lange Diagonalen

Vorsicht!

Üben ★★

Aussage: „Ist eine Zahl durch 4 teilbar, so ist sie durch 8 teilbar.“ Nenne das kleinste positive Gegenbeispiel.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Wie lautet der Kehrsatz von „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Winkel gleich groß“?
1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig
2. Wenn ein Dreieck nicht gleichseitig ist, dann sind nicht alle Winkel gleich groß
3. Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang

Merkkarte

Satz und Kehrsatz

Satz: Wenn $A$ , dann $B$ .
Kehrsatz: Wenn $B$ , dann $A$ .
Ein Gegenbeispiel widerlegt.

Achtung: Der Kehrsatz gilt nicht automatisch.

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