Besondere Linien und Umkreis

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Wie heißt die Linie durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite?

Die Seitenhalbierende
Die Höhe

Die Grundidee

Vier Arten besonderer Linien im Dreieck.

Nicht maßstabsgetreu

Mittelsenkrechte: senkrecht auf einer Seite in ihrem Mittelpunkt. Seitenhalbierende: von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Höhe: von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite. Winkelhalbierende: teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es einem Kreis einbeschrieben ist, dessen Durchmesser eine seiner Seiten ist. Der Mittelpunkt ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.

Beispiel

$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 10$ .

Der Radius ist

\dfrac{\overline{BC}}{2}

Der Mittelpunkt ist der von [BC].

5

Radius.

Du bist dran

Jetzt du: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 8. Wie groß ist der Radius seines Umkreises?

4

8 : 2.

Üben ★

$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 18$ . Berechne den Radius seines Umkreises.
$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 8$ . Berechne den Radius seines Umkreises.
$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 12$ . Berechne den Radius seines Umkreises.

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Linie steht senkrecht auf einer Seite in deren Mittelpunkt?
1. Die Mittelsenkrechte
2. Die Seitenhalbierende
3. Die Winkelhalbierende
Welche Linie steht senkrecht auf einer Seite in deren Mittelpunkt?
1. Die Mittelsenkrechte
2. Die Seitenhalbierende
3. Die Winkelhalbierende

Abschlussaufgabe. $ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{AB} = 15$ und $\overline{AC} = 20$ .

Wie heißt die Linie von einer Ecke, die senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht?
1. Die Höhe
2. Die Seitenhalbierende
3. Die Mittelsenkrechte

Wie heißt die Linie durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite?
1. Die Seitenhalbierende
2. Die Höhe
3. Die Winkelhalbierende

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 18$ . Berechne den Radius seines Umkreises.
$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 8$ . Berechne den Radius seines Umkreises.
$ABC$ ist rechtwinklig bei $A$ , mit $\overline{BC} = 12$ . Berechne den Radius seines Umkreises.

Merkkarte

Besondere Linien

Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhe, Winkelhalbierende.
Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse = Durchmesser.

Achtung: Seitenhalbierende und Höhe sind im Allgemeinen verschieden.

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