Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 7 › Symmetrie und Winkel

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Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Kannst du nur mit Zirkel und Lineal (ohne die Skala zu nutzen) den genauen Mittelpunkt einer Strecke finden?

  1. Ja, mit zwei gleichen Kreisbögen
  2. Nein, man muss messen

Die Grundidee

Konstruktionen nutzen gleiche Abstände, keine Messungen.

  1. Schritt 1Der Winkel bei O.
  2. Schritt 21. Ein Bogen um O schneidet die Schenkel in A und B.
  3. Schritt 32. Gleiche Bögen um A und um B treffen sich in P.
  4. Schritt 43. Die Halbgerade OP halbiert den Winkel (SSS: OAP ≅ OBP).

Der Zirkel hält einen Abstand fest, das Lineal zieht Geraden durch vorhandene Punkte. Damit kannst du eine Strecke oder einen Winkel übertragen, eine Strecke oder einen Winkel halbieren, Lote und Parallelen zeichnen und ein regelmäßiges Sechseck einbeschreiben (den Radius 6-mal auf dem Kreis abtragen), ein gleichseitiges Dreieck (jede zweite Sechseckecke) oder ein Quadrat (zwei senkrechte Durchmesser). Jeder Schritt wird mit kongruenten Dreiecken oder gleichen Radien begründet.

Beispiel

Halbiere den Winkel mit dem Scheitel O.

Er schneidet die Schenkel in A und B, mit OA = OB
Bogen um O.
Sie treffen sich in P, mit AP = BP
Gleiche Bögen um A und B.
Die Dreiecke OAP und OBP sind kongruent (SSS), also halbiert OP den Winkel
OP zeichnen.

Du bist dran

Jetzt du: ein regelmäßiges Sechseck in einem Kreis mit dem Radius 5 cm. Wie lang ist jede Seite?

55 cm
Die Seite ist so lang wie der Radius.

Üben ★

  1. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 7 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 9 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  1. Um einem Kreis mit dem Radius 8 cm ein regelmäßiges Sechseck einzubeschreiben, trägst du den Zirkel auf dem Kreis ab. Welche Öffnung behältst du?
    1. 8 cm, den Radius des Kreises
    2. 16 cm, den Durchmesser
    3. Irgendeine Öffnung, solange sie gleich bleibt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten von AB (AB = 10 cm): Warum halbiert die Gerade PQ durch die beiden Bogenschnittpunkte AB im rechten Winkel?
    1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
    2. Weil das Geodreieck 90° anzeigt
    3. Weil die Bögen den Radius 10 cm haben
  2. Bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten von AB (AB = 7 cm): Warum halbiert die Gerade PQ durch die beiden Bogenschnittpunkte AB im rechten Winkel?
    1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
    2. Weil das Geodreieck 90° anzeigt
    3. Weil die Bögen den Radius 7 cm haben
  1. Einem Kreis mit dem Radius 4 cm wird ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben, mit den Ecken auf dem Kreis. Wie groß ist sein Umfang in cm?Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 7 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 9 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  3. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 6 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

Merkkarte

Konstruktionen

Zirkel für gleiche Abstände, Lineal für Geraden; Begründung mit kongruenten Dreiecken.

Achtung: Die Zirkelöffnung zwischen den beiden Bögen nicht ändern.

Ende der Lektion

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Lösungen: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

A

  1. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

B

  1. 8 cm, den Radius des Kreises

C

  1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
  2. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten

D

  1. 2424

E

  1. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  3. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

CC BY-SA 4.0