Bruchgleichungen lösen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Löse $\dfrac{6}{x} = 2$ . Welcher Wert passt?

$x = 3$
$x = 12$

Die Grundidee

Nenner beseitigen, lösen, dann prüfen.

Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, die entstehende Gleichung lösen und jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen: Ein Wert, der einen Nenner 0 macht, liegt nicht in der Definitionsmenge und entfällt.

Beispiel

$\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 1$ .

x = 2 + (x - 2)

, also

x = x

Mit x − 2 multiplizieren.

… außer dort, wo der Nenner 0 ist

Für jedes x wahr.

Lösungen: jedes

x \neq 2

x = 2 ist ausgeschlossen.

Du bist dran

Jetzt du: $\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{2}{3}$ .

x = 2

3x = 2x + 2.

Üben ★

Löse $\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }$ .
Löse $\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }$ .
Löse $\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 11 } = \dfrac{1}{ 5 }$ .
Löse $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 12 } = \dfrac{1}{ 2 }$ .

Löse $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ .
1. Keine Lösung: Kürzen ergibt x = 2, aber x = 2 macht den Nenner 0
2. x = 2
3. Jedes x außer 2

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }$ .
Löse $\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }$ .
Löse $\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }$ .

Merkkarte

Bruchgleichungen

Nenner beseitigen → lösen → in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Achtung: Werte, die einen Nenner 0 machen, entfallen.

Ende der Lektion

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