Funktionen a/(x + b) + c

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$f(x) = \dfrac{1}{x - 2} + 3$ . Welche Zahl darf man für $x$ nicht einsetzen?

Der Graph von y = a/(x + b) + c, eine Hyperbel mit der senkrechten Asymptote x = −b und der waagrechten Asymptote y = c.

$x - 2$ $x - 2$ wäre 0." data-option="1"> $x = 2$
$-2 - 2 = -4$ $- 2 - 2 = - 4$ , das ist erlaubt. Null wird der Nenner bei $x = 2$ ." data-option="2"> $x = -2$

Die Grundidee

Der Graph von $\dfrac{1}{x}$ ist eine Hyperbel; die Parameter verschieben und strecken sie.

$f(x) = \dfrac{a}{x + b} + c$ hat die Definitionsmenge $\mathbb{R} \setminus \{-b\}$ , die senkrechte Asymptote $x = -b$ und die waagrechte Asymptote $y = c$ .

$b$ verschiebt den Graphen waagrecht (um $-b$ ), $c$ senkrecht; $a$ streckt ihn, und für $a < 0$ wird er an der waagrechten Asymptote gespiegelt.

Beispiel

Untersuche $f(x) = \dfrac{2}{x + 1} - 3$ .

Definitionsmenge

\mathbb{R} \setminus \{-1\}

, senkrechte Asymptote

x = -1

Nenner 0 bei x = −1.

Waagrechte Asymptote

y = -3

Die addierte Zahl.

f(1) = 1 - 3 = -2

x = 1 einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{4}{x - 5} + 1$ . Wo liegt die senkrechte Asymptote: $x = \;?$

x - 5 = 0

x − 5 = 0.

5

Lösung.

Üben ★

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x + 1} + 0$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2 }{x + 3} + -1$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?

$f(x) = \dfrac{ 5 }{x - 5} + (1)$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 2 }{x - 1} + (-5)$ . Berechne $f(5)$ .
$f(x) = \dfrac{ 6 }{x - 2} + (-4)$ . Berechne $f(5)$ .

Abschlussaufgabe. Gegeben ist $f(x) = \dfrac{ 9 }{x + 5} - 2$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x + 1} + 0$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2 }{x + 3} + -1$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 3 }{x + 5} + 3$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?

Merkkarte

Funktionen $\dfrac{a}{x + b} + c$

Definitionsmenge: $\mathbb{R} \setminus \{-b\}$ .
Senkrechte Asymptote $x = -b$ .
Waagrechte Asymptote $y = c$ .

Achtung: Das Vorzeichen von $b$ dreht sich um.

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