Laplace-Wahrscheinlichkeit; Gegenereignis

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Jahrgangsstufe 8 › Laplace-Experimente

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Laplace-Wahrscheinlichkeit; Gegenereignis

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Zwei Würfel werden geworfen. Die Summen reichen von 2 bis 12: elf Werte. Hat jede Summe dieselbe Wahrscheinlichkeit 111\dfrac{1}{11}?

  1. Nein
  2. Ja

Wirf zwei Würfel 1000-mal. Welche Summe kommt am häufigsten vor?

  1. 7
  2. Alle Summen ungefähr gleich oft

Die Grundidee

Laplace-Experimente und Gegenereignis.

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=Anzahl der Ergebnisse von AAnzahl aller ErgebnisseP(A) = \dfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse von } A}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}. Immer gilt 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1 und P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Beispiel

Mindestens einmal „Zahl“ bei 3 Würfen.

P(keinmal Zahl)=18P(\text{keinmal Zahl}) = \dfrac{1}{8}
8 gleich wahrscheinliche Folgen.
P(mindestens einmal Zahl)=1−18P(\text{mindestens einmal Zahl}) = 1 - \dfrac{1}{8}
Gegenereignis.
=78= \dfrac{7}{8}
Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier Würfel 7 ist?

16\dfrac{1}{6}
6 Paare von 36.

Üben ★

  1. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 2 ist.
  2. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 12 ist.
  1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug Verspätung hat, ist 0,780{,}78. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er keine Verspätung hat.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein fairer Würfel wird 2-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.
  2. Ein fairer Würfel wird 6-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 2 ist.
  2. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 12 ist.
  3. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 8 ist.

Merkkarte

Wahrscheinlichkeiten

  • Laplace: günstige : alle.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A); „mindestens einmal“ über das Gegenereignis.

Achtung: Prüfe, ob die Ergebnisse wirklich gleich wahrscheinlich sind.

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Lösungen: Laplace-Wahrscheinlichkeit; Gegenereignis

A

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}

B

  1. 1150\frac{11}{50}

C

  1. 1136\frac{11}{36}
  2. 3103146656\frac{31031}{46656}

D

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}
  3. 536\frac{5}{36}

CC BY-SA 4.0