Strahlensätze

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Parallele zu einer Dreiecksseite schneidet die beiden anderen Seiten. Teilt sie die eine im Verhältnis $1 : 2$ , wie teilt sie dann die andere?

Auch im Verhältnis $1 : 2$
Das hängt vom Winkel ab

Verschiebe $DE$ . Teile $AD$ durch $AB$ , dann $AE$ durch $AC$ .

Die beiden Quotienten sind immer gleich
$AD$ ist immer gleich $AE$

Die Grundidee

Parallelen teilen die Seiten im selben Verhältnis.

Strahlensatz: Liegt $D$ auf $AB$ , $E$ auf $AC$ und ist $DE \parallel BC$ , so gilt $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ . Die Figur kann „ineinander“ oder als „X-Figur“ liegen.

Umkehrung: Liegen $A$ , $D$ , $B$ und $A$ , $E$ , $C$ in derselben Reihenfolge auf Geraden und gilt $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ , so ist $DE \parallel BC$ . Sind die Quotienten verschieden, sind die Geraden nicht parallel.

Beispiel

$AD = 4$ , $DB = 6$ , $AE = 6$ , $DE \parallel BC$ . Berechne $EC$ .

\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{AC}

AD/AB = AE/AC, mit AB = 10.

AC = 15

AC berechnen.

EC = 9

AE abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: $BC = 18$ . Wie lang ist die Strecke durch die Mittelpunkte von $[AB]$ und $[AC]$ ?

9

Die Hälfte.

Üben ★

Im Dreieck $ABC$ schneidet eine Parallele zu $BC$ die Seite $[AB]$ in $D$ und $[AC]$ in $E$ , mit $AD = 5$ , $DB = 3$ und $AE = 9$ . Berechne $EC$ .Nicht maßstabsgetreu
Im Dreieck $ABC$ schneidet eine Parallele zu $BC$ die Seite $[AB]$ in $D$ und $[AC]$ in $E$ , mit $AD = 4$ , $DB = 3$ und $AE = 9$ . Berechne $EC$ .Nicht maßstabsgetreu

In einem Dreieck ist $BC = 26$ . Wie lang ist die Strecke durch die Mittelpunkte von $[AB]$ und $[AC]$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$DE \parallel BC$ , mit $D$ auf $[AB]$ und $E$ auf $[AC]$ ; $AD = 2$ , $DB = 7$ , $AE = 3$ . Berechne $AC$ .Nicht maßstabsgetreu

Abschlussaufgabe. Im Dreieck $ABC$ ist $DE \parallel BC$ mit $D$ auf $[AB]$ , $AD = 6$ , $DB = 1$ und $DE = 8$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Im Dreieck $ABC$ schneidet eine Parallele zu $BC$ die Seite $[AB]$ in $D$ und $[AC]$ in $E$ , mit $AD = 5$ , $DB = 3$ und $AE = 9$ . Berechne $EC$ .Nicht maßstabsgetreu
Im Dreieck $ABC$ schneidet eine Parallele zu $BC$ die Seite $[AB]$ in $D$ und $[AC]$ in $E$ , mit $AD = 4$ , $DB = 3$ und $AE = 9$ . Berechne $EC$ .Nicht maßstabsgetreu
Im Dreieck $ABC$ schneidet eine Parallele zu $BC$ die Seite $[AB]$ in $D$ und $[AC]$ in $E$ , mit $AD = 7$ , $DB = 8$ und $AE = 5$ . Berechne $EC$ .Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Strahlensatz

$DE \parallel BC$ : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ .
Die Umkehrung beweist Parallelität.

Achtung: In den Verhältnissen dieselbe Reihenfolge einhalten.

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