Potenzfunktionen und Verhalten im Unendlichen

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Jahrgangsstufe 9 › Potenzfunktionen und Erweiterung des Potenzbegriffs

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Potenzfunktionen und Verhalten im Unendlichen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege den Regler und beobachte den Graphen von y=xny = x^n für verschiedene Exponenten nn.

Der Graph von y = x hoch n. Bei geradem n steigen beide Enden; bei ungeradem n fällt das linke Ende, und das rechte steigt.

Was passiert für n=3n = 3 ganz links am Graphen?

  1. Er geht nach unten
  2. Er geht nach oben, wie bei x2x^2

Die Grundidee

Für große ∣x∣|x| verhält sich eine ganzrationale Funktion wie ihr höchster Summand, der mit der größten Potenz.

Für a⋅xna \cdot x^n: Ist nn gerade, gehen beide Enden in dieselbe Richtung (nach oben für a>0a > 0, nach unten für a<0a < 0). Ist nn ungerade, gehen sie in entgegengesetzte Richtungen (das rechte Ende nach oben für a>0a > 0, nach unten für a<0a < 0).

Beispiel

Beschreibe das Randverhalten von p(x)=3x2−2x5+1p(x) = 3x^2 - 2x^5 + 1.

Höchster Summand: −2x5-2x^5
Die höchste Potenz ist x⁵, egal wo sie steht.
Ungerader Grad
5 ist ungerade: Die Enden gehen in entgegengesetzte Richtungen.
Für x→∞x \to \infty gilt p(x)→−∞p(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt p(x)→∞p(x) \to \infty
Der Faktor −2 ist negativ: Das rechte Ende geht nach unten.

Du bist dran

Jetzt du: q(x)=4x−7x4q(x) = 4x - 7x^4.

Höchster Summand: −7x4-7x^4
Die höchste Potenz.
Leitkoeffizient: −7-7, also gehen beide Enden nach unten
Gib den Leitkoeffizienten ein.

Üben ★

  1. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=7x3f(x) = 7x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  2. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=3x7f(x) = 3x^{ 7 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=3x3f(x) = 3x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  4. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=8x3f(x) = 8x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−9x6f(x) = -9x^{ 6 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  2. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−8x4f(x) = -8x^{ 4 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−6x4f(x) = -6x^{ 4 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  1. p(x)=7x2−9x5+9p(x) = 7x^2 - 9x^5 + 9. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  2. p(x)=9x2−7x5+2p(x) = 9x^2 - 7x^5 + 2. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  3. p(x)=3x2−5x5+8p(x) = 3x^2 - 5x^5 + 8. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. p(x)=7x2−9x5+9p(x) = 7x^2 - 9x^5 + 9. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  2. p(x)=9x2−7x5+2p(x) = 9x^2 - 7x^5 + 2. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  3. p(x)=3x2−5x5+8p(x) = 3x^2 - 5x^5 + 8. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?

Merkkarte

Randverhalten

  • Für große ∣x∣|x| zählt nur der höchste Summand.
  • Gerader Grad: beide Enden gleich. Ungerader Grad: entgegengesetzt.
  • Ein negativer Leitkoeffizient dreht das Bild um.

Achtung: Der höchste Summand steht nicht immer vorn.

Ende der Lektion

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Lösungen: Potenzfunktionen und Verhalten im Unendlichen

A

  1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  2. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty

B

  1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  3. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty

C

  1. −9-9
  2. −7-7
  3. −5-5

D

  1. −9-9
  2. −7-7
  3. −5-5

CC BY-SA 4.0