Gleichungen xⁿ = c und allgemeine Wurzel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viele Lösungen hat $x^4 = 16$ ?

$2^4 = 16$ $2^{4} = 16$ und $(-2)^4 = 16$ ." data-option="1">Zwei: $x = 2$ und $x = -2$
$x = -2$ $x = - 2$ ist eine Lösung." data-option="2">Eine: $x = 2$

Die Grundidee

Ob es eine oder zwei Lösungen gibt, hängt davon ab, ob der Exponent gerade ist.

Für $a \geq 0$ ist die $n$ -te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ die nicht negative Zahl, deren $n$ -te Potenz $a$ ist.

$x^n = c$ : $n$ gerade: für $c > 0$ zwei Lösungen $\pm\sqrt[n]{c}$ , für $c = 0$ die Lösung 0, für $c < 0$ keine. $n$ ungerade: genau eine Lösung; für $c < 0$ ist sie $-\sqrt[n]{-c}$ .

Beispiel

Löse $x^3 = -8$ und $x^6 = 64$ .

x^3 = -8

x = -2

Ungerader Exponent: eine Lösung, negativ.

x^6 = 64

x = \pm\sqrt[6]{64}

Gerader Exponent: zwei Lösungen.

x = 2

oder

x = -2

Sechste Wurzel aus 64.

Du bist dran

Jetzt du: Löse $x^5 = 32$ .

x = \sqrt[5]{32}

2⁵ = 32, ungerade: nur eine Lösung.

2

Lösung.

Üben ★

Löse $x^3 = -27$ .
Löse $x^3 = -8$ .

Die Gleichung $x^4 = 81$ hat zwei Lösungen. Wie lautet die kleinere?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie viele reelle Lösungen hat $x^6 = -4$ ?
1. Keine
2. Eine
3. Zwei

Berechne $\sqrt[3]{ 27 }$ .

Abschlussaufgabe. Untersuche die Gleichungen $x^4 = 81$ und $x^3 = 27$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $x^3 = -27$ .
Löse $x^3 = -8$ .
Löse $x^3 = -64$ .

Merkkarte

Gleichungen $x^n = c$

Gerades $n$ , $c > 0$ : $\pm\sqrt[n]{c}$ .
Gerades $n$ , $c < 0$ : keine Lösung.
Ungerades $n$ : genau eine Lösung.

Achtung: Die negative Lösung nicht vergessen.

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