Der Satz vom Nullprodukt

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Jahrgangsstufe 9 › Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Der Satz vom Nullprodukt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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a⋅b=0a \cdot b = 0. Was folgt daraus?

  1. a=0a = 0 oder b=0b = 0
  2. a=0a = 0 und b=0b = 0

Die Grundidee

Eine Produktgleichung löst man Faktor für Faktor.

Aus A⋅B=0A \cdot B = 0 folgt A=0A = 0 oder B=0B = 0. Diese Regel gilt nur, wenn eine Seite 0 ist.

Beispiel

Löse (3x−6)(x+4)=0(3x - 6)(x + 4) = 0.

3x−6=03x - 6 = 0, also x=2x = 2
Erster Faktor.
x+4=0x + 4 = 0, also x=−4x = -4
Zweiter Faktor.

Du bist dran

Jetzt du: Wie lautet die von 0 verschiedene Lösung von x(x−9)=0x(x - 9) = 0?

99
x − 9 = 0.

Üben ★

  1. Löse x(x−3)=0x(x - 3) = 0. Gib alle Lösungen an.
  2. Löse x(x−2)=0x(x - 2) = 0. Gib alle Lösungen an.
  1. Löse (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Um (x−3)(x+7)=4(x - 3)(x + 7) = 4 zu lösen, schreibt Ana „x−3=4x - 3 = 4 oder x+7=4x + 7 = 4“. Hat sie recht?
    1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
    2. Ja: Man setzt jeden Faktor gleich 4
    3. Nur der erste Faktor kann 4 sein
  2. Um (x−7)(x+6)=17(x - 7)(x + 6) = 17 zu lösen, schreibt Ana „x−7=17x - 7 = 17 oder x+6=17x + 6 = 17“. Hat sie recht?
    1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
    2. Ja: Man setzt jeden Faktor gleich 17
    3. Nur der erste Faktor kann 17 sein

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.
  2. Löse (2x−5)(x+9)=0(2x - 5)(x + 9) = 0. Gib alle Lösungen an.
  3. Löse (5x−3)(x+8)=0(5x - 3)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.

Merkkarte

Satz vom Nullprodukt

  • Produkt null: jeden Faktor null setzen.
  • Die andere Seite muss 0 sein.

Achtung: Nie durch xx teilen: Du verlierst x=0x = 0.

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Lösungen: Der Satz vom Nullprodukt

A

  1. 0, 30,\ 3
  2. 0, 20,\ 2

B

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8

C

  1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
  2. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist

D

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8
  2. 52, −9\frac{5}{2},\ -9
  3. 35, −8\frac{3}{5},\ -8

CC BY-SA 4.0