Normalform und faktorisierte Form einer quadratischen Funktion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$y = (x - 3)(x + 5)$ . Wo schneidet der Graph die $x$ -Achse?

Bei $x = 3$ und $x = -5$
Bei $x = -3$ und $x = 5$

Die Grundidee

Zwei Formen derselben quadratischen Funktion.

Die allgemeine Form

ax^2 + bx + c

zeigt den y-Achsenabschnitt

c

. Die Nullstellenform

a(x - p)(x - q)

zeigt die Nullstellen

p

und

q

. Durch Ausmultiplizieren (jeder Summand mit jedem) kommt man von der Nullstellenform zur allgemeinen Form.

Beispiel

$(x + 4)(x - 2)$ .

x^2 - 2x + 4x - 8

x · x, x · (−2), 4 · x, 4 · (−2).

x^2 + 2x - 8

Zusammenfassen.

Nullstellen

-4

und

2

Aus den Faktoren.

Du bist dran

Jetzt du: Multipliziere $(x + 3)(x + 5)$ aus.

x^2 + 8x + 15

x² + 5x + 3x + 15.

Üben ★

Bestimme die Nullstellen von $y = (x - 6)(x + 2)$ .
Bestimme die Nullstellen von $y = (x - 7)(x + 1)$ .

Schreibe $(x + 2)(x - 3)$ in der allgemeinen Form $ax^2 + bx + c$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Eine quadratische Funktion mit dem Leitkoeffizienten 1 hat die Nullstellen $x = 9$ und $x = -4$ . Schreibe sie in der Nullstellenform.
Eine quadratische Funktion mit dem Leitkoeffizienten 1 hat die Nullstellen $x = 7$ und $x = -6$ . Schreibe sie in der Nullstellenform.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme die Nullstellen von $y = (x - 6)(x + 2)$ .
Bestimme die Nullstellen von $y = (x - 7)(x + 1)$ .
Bestimme die Nullstellen von $y = (x - 3)(x + 5)$ .

Merkkarte

Allgemeine Form und Nullstellenform

Die Nullstellenform liefert die Nullstellen, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt.

Achtung: Der Faktor $x + 5$ gehört zur Nullstelle $-5$ .

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