Quadratische Ergänzung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Woher kommt die 9?

Nicht maßstabsgetreu

Schritt 1x² + 6x: ein Quadrat und ein Streifen.
Schritt 2Teile den Streifen in zwei Streifen 3x und lege sie an zwei Seiten an.
Schritt 3Die Ecke fehlt: (6 : 2)² = 9 addieren ergibt (x + 3)².

$(6 : 2)^2$
$6 + 3$

Die Grundidee

Quadratisch ergänzen.

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

. So löst du

x^2 + bx = k

\left(\tfrac{b}{2}\right)^2

auf beiden Seiten addieren, links als Quadrat schreiben, dann

\pm

Wurzel ziehen. Derselbe Schritt macht aus

x^2 + bx + c

die Scheitelform.

Beispiel

Löse $x^2 + 4x = 1$ .

x^2 + 4x + 4 = 5

(4/2)² = 4 auf beiden Seiten addieren.

(x + 2)^2 = 5

Quadrat.

x = -2 \pm \sqrt{5}

±√5, dann 2 abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: die Zahl, die $x^2 + 10x + \;?$ ergänzt.

25

(10/2)².

Üben ★

Welche Zahl macht $x^2 + 10x + \;?$ zu einem vollständigen Quadrat?
Welche Zahl macht $x^2 + 18x + \;?$ zu einem vollständigen Quadrat?

$x^2 + 12x + 22 = (x + 6)^2 + \;?$

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $x^2 + 6x = 8$ durch quadratisches Ergänzen. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).
Löse $x^2 + 2x = 9$ durch quadratisches Ergänzen. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Welche Zahl macht $x^2 + 10x + \;?$ zu einem vollständigen Quadrat?
Welche Zahl macht $x^2 + 18x + \;?$ zu einem vollständigen Quadrat?
Welche Zahl macht $x^2 + 4x + \;?$ zu einem vollständigen Quadrat?

Merkkarte

Quadratisches Ergänzen

$(b/2)^2$ auf beiden Seiten addieren, dann Wurzel ziehen.

Achtung: Halbieren, dann quadrieren; und auf beiden Seiten.

Ende der Lektion

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