Die Lösungsformel und die Diskriminante

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Jahrgangsstufe 9 › Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Die Lösungsformel und die Diskriminante

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$x^2 + 2x + 5 = 0$ . Die Scheitelform liefert $(x + 1)^2 = -4$ . Wie viele reelle Lösungen gibt es?

Keine
Zwei

Die Grundidee

Die Scheitelform führt zu einer allgemeinen Formel.

Für $ax^2 + bx + c = 0$ berechnet man die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ .

Ist $D > 0$ : zwei Lösungen $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Ist $D = 0$ : eine Lösung $-\dfrac{b}{2a}$ . Ist $D < 0$ : keine reelle Lösung.

Beispiel

Löse $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

D = 9 + 16 = 25

a = 2, b = 3, c = −2.

x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}

Lösungsformel.

x = \dfrac{1}{2}

oder

x = -2

Zwei Lösungen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne die Diskriminante von $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

1

25 − 24.

Üben ★

Berechne die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ von $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Berechne die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ von $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .

Wie viele reelle Lösungen hat $x^2 + 7x + 49 = 0$ ?
1. Keine
2. Zwei
3. Eine

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $2x^2 + 5x - 1 = 0$ . Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).
Löse $2x^2 + 7x - 6 = 0$ . Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).

Abschlussaufgabe. Ein rechteckiger Garten ist 7 m länger als breit, sein Flächeninhalt ist 294 m². Es sei $w$ die Breite in Metern.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ von $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Berechne die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ von $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .
Berechne die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ von $2x^2 + 8x + 5 = 0$ .

Merkkarte

Diskriminante

$D = b^2 - 4ac$ bestimmt die Anzahl der Lösungen.
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .

Achtung: $2a$ teilt den ganzen Zähler.

Ende der Lektion

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Lösungen: Die Lösungsformel und die Diskriminante

A

$136$
$85$

B

Keine

C

$- \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4},\ - \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{5}{4}$
$- \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{97}}{4},\ - \frac{\sqrt{97}}{4} - \frac{7}{4}$

D

$21$

E

$136$
$85$
$24$

CC BY-SA 4.0