Quadratische Funktionen: Scheitelpunkt und Extremwert

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Ball hat nach $t$ Sekunden die Höhe $h(t) = -5t^2 + 20t$ in Metern. Sein Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wann erreicht der Ball seinen höchsten Punkt?

Nach 2 Sekunden
Nach 4 Sekunden

Die Grundidee

Jede quadratische Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat einen Scheitel, ihren höchsten oder tiefsten Punkt.

Der Scheitel liegt bei

x = -\dfrac{b}{2a}

. Seine Höhe

f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)

ist für

a > 0

der kleinste, für

a < 0

der größte Wert von

f

.

Quadratisches Ergänzen ergibt die Scheitelform $f(x) = a(x - d)^2 + e$ mit dem Scheitel $S(d|e)$ .

Beispiel

Bestimme den Scheitel von $f(x) = 2x^2 - 12x + 5$ .

x = -\dfrac{-12}{2 \cdot 2} = 3

a = 2, b = −12.

f(3) = 18 - 36 + 5 = -13

f am Scheitel berechnen.

Scheitel

S(3|-13)

, kleinster Wert

-13

a = 2 > 0, also der tiefste Punkt.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2 + 6x + 11$ .

x = -\dfrac{6}{2} = -3

a = 1, b = 6.

Kleinster Wert:

f(-3) = 2

f(−3) = 9 − 18 + 11.

Üben ★

$f(x) = 5x^2 - 10x + 20$ . Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
$f(x) = 5x^2 - 40x + 10$ . Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
$f(x) = 2x^2 - 20x + 19$ . Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
$f(x) = 5x^2 - 30x + 5$ . Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = x^2 + 10x + 21$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?
$f(x) = x^2 + 4x + 22$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?
$f(x) = x^2 + 10x + 19$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?

Zeichne den Graphen von $y = -(x - h)^2 + 6$ für $h = 0$ : Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.
Zeichne den Graphen von $y = -(x - h)^2 + 2$ für $h = 2$ : Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2 + 10x + 21$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?
$f(x) = x^2 + 4x + 22$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?
$f(x) = x^2 + 10x + 19$ . Wie groß ist der kleinste Wert von $f(x)$ ?

Merkkarte

Quadratische Funktionen

Scheitel bei $x = -\dfrac{b}{2a}$ .
Seine Höhe $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ ist das Minimum ( $a > 0$ ) oder Maximum ( $a < 0$ ).
Scheitelform: $a(x - d)^2 + e$ , Scheitel $S(d|e)$ .

Achtung: Das konstante Glied $c$ ist $f(0)$ , nicht der Extremwert.

Über diese Lektion