Rationale und irrationale Zahlen; periodische Dezimalzahlen

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 9 › Quadratwurzeln und reelle Zahlen

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Rationale und irrationale Zahlen; periodische Dezimalzahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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13=0,333…\tfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots geht unendlich weiter. Ist die Zahl rational?

  1. Ja
  2. Nein: Sie endet nie

Die Grundidee

Rationale Zahlen sind Brüche; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch.

Eine rationale Zahl lässt sich als ab\tfrac{a}{b} mit ganzen Zahlen aa, b≠0b \neq 0 schreiben; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch. Eine irrationale Zahl nicht: Ihre Dezimaldarstellung endet nie und wird nie periodisch. n\sqrt{n} ist irrational, außer nn ist eine Quadratzahl; auch π\pi ist irrational.

Beispiel

Schreibe 0,27‾0{,}\overline{27} als Bruch.

100x=27,2727…100x = 27{,}2727\ldots
Sei x = 0,2727…
99x=2799x = 27
x abziehen.
x=2799=311x = \tfrac{27}{99} = \tfrac{3}{11}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: Schreibe 0,5‾0{,}\overline{5} als Bruch.

59\tfrac{5}{9}
10x − x = 5.

Üben ★

  1. Welche Zahl ist irrational?
    1. 2\sqrt{ 2 }
    2. 4\sqrt{ 4 }
    3. 0,1‾0{,}\overline{ 1 }
  2. Welche Zahl ist irrational?
    1. 10\sqrt{ 10 }
    2. 16\sqrt{ 16 }
    3. 0,3‾0{,}\overline{ 3 }
  1. Schreibe 0,1‾0{,}\overline{ 1 } (die Ziffer 1 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 0,48‾0{,}\overline{ 48 } (die Ziffern 48 wiederholen sich unendlich oft) als Bruch.
  2. Schreibe 0,70‾0{,}\overline{ 70 } (die Ziffern 70 wiederholen sich unendlich oft) als Bruch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 0,1‾0{,}\overline{ 1 } (die Ziffer 1 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.
  2. Schreibe 0,2‾0{,}\overline{ 2 } (die Ziffer 2 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.
  3. Schreibe 0,8‾0{,}\overline{ 8 } (die Ziffer 8 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.

Merkkarte

Rational und irrational

Abbrechend oder periodisch: rational. Weder noch: irrational.

Achtung: Eine periodische Dezimalzahl ist ein Bruch mit dem Nenner 9, 99, …

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Lösungen: Rationale und irrationale Zahlen; periodische Dezimalzahlen

A

  1. 2\sqrt{ 2 }
  2. 10\sqrt{ 10 }

B

  1. 19\frac{1}{9}

C

  1. 1633\frac{16}{33}
  2. 7099\frac{70}{99}

D

  1. 19\frac{1}{9}
  2. 29\frac{2}{9}
  3. 89\frac{8}{9}

CC BY-SA 4.0