Heron-Verfahren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 2 und die Seiten 1 und 2. Es soll ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt werden. Wie lang wählst du die eine Seite als Nächstes?

Nicht maßstabsgetreu

$\\dfrac{2}{1{,}5} \\approx 1{,}33$ $dfrac21,5approx1,33$ . Die Seiten rücken zusammen, das Rechteck wird quadratischer." data-option="1"> $1{,}5$ , den Mittelwert von 1 und 2
$(1 + 2) : 2$ $(1 + 2) : 2$ ." data-option="2"> $3$ , die Summe von 1 und 2

Die Grundidee

Der Mittelwert von $x$ und $\dfrac{a}{x}$ ist ein besserer Näherungswert für $\sqrt{a}$ .

Heron-Verfahren: Für $\sqrt{a}$ wählt man einen Startwert $x_0 > 0$ und rechnet $x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right)$ .

$\sqrt{a}$ liegt immer zwischen $x_n$ und $\dfrac{a}{x_n}$ . Schon wenige Schritte liefern viele richtige Stellen.

Beispiel

Bestimme eine Näherung für $\sqrt{2}$ mit $x_0 = 1$ .

x_1 = \dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5

Mittelwert von 1 und 2/1.

x_2 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}5 + \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{17}{12}

Mittelwert von 1,5 und 2/1,5.

x_2 \approx 1{,}41667

Vergleich mit √2 ≈ 1,41421.

Du bist dran

Jetzt du: Für $\sqrt{10}$ ist $x_0 = 2$ . Berechne $x_1$ .

x_1 = \dfrac{1}{2}(2 + 5)

10 : 2 = 5.

3{,}5

Mittelwert.

Üben ★

Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 13 }$ aus $x_0 = 4$ den nächsten Wert $x_1$ .
Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 13 }$ aus $x_0 = 5$ den nächsten Wert $x_1$ .
Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 17 }$ aus $x_0 = 6$ den nächsten Wert $x_1$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Warum ist der Mittelwert von $x$ und $\dfrac{ 6 }{x}$ ein guter neuer Näherungswert für $\sqrt{ 6 }$ ?
1. $\sqrt{ 6 }$ liegt zwischen $x$ und $\dfrac{ 6 }{x}$
2. Weil $x$ immer zu groß ist
3. Weil der Mittelwert genau $\sqrt{ 6 }$ ist

Abschlussaufgabe. Nähere $\sqrt{ 26 }$ mit dem Startwert $x_0 = 5$ an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 13 }$ aus $x_0 = 4$ den nächsten Wert $x_1$ .
Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 13 }$ aus $x_0 = 5$ den nächsten Wert $x_1$ .
Berechne mit dem Heron-Verfahren für $\sqrt{ 17 }$ aus $x_0 = 6$ den nächsten Wert $x_1$ .

Merkkarte

Heron-Verfahren

$x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right)$ .
$\sqrt{a}$ liegt zwischen $x_n$ und $\dfrac{a}{x_n}$ .
Geometrisch: Das Rechteck wird immer quadratischer.

Achtung: Den Mittelwert bilden, nicht die Summe.

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