Der trigonometrische Pythagoras und Vereinfachen

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Jahrgangsstufe 9 › Trigonometrie

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Der trigonometrische Pythagoras und Vereinfachen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt (cos⁡x∣sin⁡x)(\cos x|\sin x) liegt auf dem Einheitskreis mit der Gleichung X2+Y2=1X^2 + Y^2 = 1. Was folgt daraus?

  1. (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1
  2. cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1

Die Grundidee

Eine Identität ist eine Gleichung, die für jeden Wert der Variablen gilt.

(sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1, also (cos⁡x)2=1−(sin⁡x)2(\cos x)^2 = 1 - (\sin x)^2 und (sin⁡x)2=1−(cos⁡x)2(\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2. Außerdem tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Damit berechnet man aus einem Wert den anderen (der Quadrant liefert das Vorzeichen) und vereinfacht Terme.

Beispiel

cos⁡α=−35\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}, und α\alpha liegt im III. Quadranten. Bestimme sin⁡α\sin\alpha.

(sin⁡α)2=1−925=1625(\sin\alpha)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}
Die Pythagoras-Identität.
sin⁡α=±45\sin\alpha = \pm\dfrac{4}{5}
Zwei Wurzeln sind möglich.
sin⁡α=−45\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}
Der Sinus ist im III. Quadranten negativ.

Du bist dran

Jetzt du: sin⁡α=513\sin\alpha = \dfrac{5}{13}, und α\alpha liegt im I. Quadranten.

(cos⁡α)2=144169(\cos\alpha)^2 = \dfrac{144}{169}
1 − 25/169.
cos⁡α=1213\cos\alpha = \dfrac{12}{13}
Positiv im I. Quadranten.

Üben ★

  1. sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{5}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  2. sin⁡α=38\sin\alpha = \frac{3}{8}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  3. sin⁡α=16\sin\alpha = \frac{1}{6}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  4. sin⁡α=13\sin\alpha = \frac{1}{3}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welcher Term ist gleich 1−(cos⁡x)2sin⁡x\dfrac{1 - (\cos x)^2}{\sin x} (mit sin⁡x≠0\sin x \neq 0)?
    1. sin⁡x\sin x
    2. cos⁡x\cos x
    3. 1−cos⁡x1 - \cos x
  1. Welche Gleichung gilt für jedes xx?
    1. (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1
    2. sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1
    3. (sin⁡x)2−(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 - (\cos x)^2 = 1
    4. tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x}

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{5}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  2. sin⁡α=38\sin\alpha = \frac{3}{8}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  3. sin⁡α=16\sin\alpha = \frac{1}{6}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.

Merkkarte

Die Pythagoras-Identität

  • (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1 für jedes xx.
  • Aus einem Wert: quadrieren, von 1 abziehen, Wurzel ziehen, Vorzeichen nach dem Quadranten wählen.

Achtung: Die Identität braucht die Quadrate.

Ende der Lektion

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Lösungen: Der trigonometrische Pythagoras und Vereinfachen

A

  1. −265- \frac{2 \sqrt{6}}{5}
  2. −558- \frac{\sqrt{55}}{8}
  3. −356- \frac{\sqrt{35}}{6}
  4. −223- \frac{2 \sqrt{2}}{3}

B

  1. sin⁡x\sin x

C

  1. (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1

D

  1. −265- \frac{2 \sqrt{6}}{5}
  2. −558- \frac{\sqrt{55}}{8}
  3. −356- \frac{\sqrt{35}}{6}

CC BY-SA 4.0