Sinus und Kosinus von 0° bis 360°

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Jahrgangsstufe 9 › Trigonometrie

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Sinus und Kosinus von 0° bis 360°

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Am Einheitskreis gehört zum Winkel α\alpha der Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha). Der Punkt zu 150°150° ist das Spiegelbild des Punkts zu 30°30° an der y-Achse. Wie groß ist sin⁡150°\sin 150°?

  1. sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5
  2. −0,5-0{,}5

Die Grundidee

Am Einheitskreis gelten Sinus und Kosinus für Winkel bis 360°.

Für 0°≤α≤360°0° \leq \alpha \leq 360° ist cos⁡α\cos\alpha die x-Koordinate und sin⁡α\sin\alpha die y-Koordinate des Punkts zum Winkel α\alpha.

sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha und cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha; sin⁡(180°+α)=−sin⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha und cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha. Im II. Quadranten ist nur der Sinus positiv, im III. keiner von beiden, im IV. nur der Kosinus.

Beispiel

Es ist cos⁡40°≈0,77\cos 40° \approx 0{,}77. Bestimme cos⁡140°\cos 140° und cos⁡220°\cos 220°.

cos⁡140°=−cos⁡40°≈−0,77\cos 140° = -\cos 40° \approx -0{,}77
140° = 180° − 40°.
cos⁡220°=−cos⁡40°≈−0,77\cos 220° = -\cos 40° \approx -0{,}77
220° = 180° + 40°.
Beide Werte sind negativ.
Beide Punkte liegen links der y-Achse.

Du bist dran

Jetzt du: Es ist sin⁡25°≈0,42\sin 25° \approx 0{,}42. Wie groß ist ungefähr sin⁡155°\sin 155°?

sin⁡155°=sin⁡25°\sin 155° = \sin 25°
155° = 180° − 25°.
0,420{,}42
Wert.

Üben ★

  1. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡42°\sin\beta = \sin 42°? Gib β\beta in Grad an.
  2. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡47°\sin\beta = \sin 47°? Gib β\beta in Grad an.
  1. Es sei cos⁡44°=0,6\cos 44° = 0{,}6 (gerundeter Beispielwert). Wie groß wäre dann cos⁡136°\cos 136°?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Vorzeichen haben sin⁡124°\sin 124° und cos⁡124°\cos 124°?
    1. sin⁡124°>0\sin 124° > 0 und cos⁡124°<0\cos 124° < 0
    2. Beide positiv
    3. sin⁡124°<0\sin 124° < 0 und cos⁡124°>0\cos 124° > 0
  1. Abschlussaufgabe. Für einen spitzen Winkel α\alpha gilt sin⁡α=0,6\sin\alpha = 0{,}6 und cos⁡α=0,8\cos\alpha = 0{,}8.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡42°\sin\beta = \sin 42°? Gib β\beta in Grad an.
  2. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡47°\sin\beta = \sin 47°? Gib β\beta in Grad an.
  3. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡64°\sin\beta = \sin 64°? Gib β\beta in Grad an.

Merkkarte

Sinus und Kosinus bis 360°

  • Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha).
  • sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha.
  • cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha.

Achtung: 180° − α ist nicht 90° − α.

Ende der Lektion

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Lösungen: Sinus und Kosinus von 0° bis 360°

A

  1. 138138
  2. 133133

B

  1. −35- \frac{3}{5}

C

  1. sin⁡124°>0\sin 124° > 0 und cos⁡124°<0\cos 124° < 0

D

  1. −35- \frac{3}{5}

E

  1. 138138
  2. 133133
  3. 116116

CC BY-SA 4.0