Winkel mit Umkehrfunktionen berechnen

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Jahrgangsstufe 9 › Trigonometrie

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Winkel mit Umkehrfunktionen berechnen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einem rechtwinkligen Dreieck ist tan⁡α=1\tan\alpha = 1. Wie groß ist α\alpha?

  1. 45°45°
  2. 1°1°

Die Grundidee

Der Taschenrechner bestimmt den Winkel aus dem Quotienten.

Ist sin⁡α=r\sin\alpha = r, erhält man α\alpha mit der Taste sin⁻¹; ebenso cos⁻¹ und tan⁻¹. Diese Tasten liefern einen Winkel, keinen Kehrwert. Taschenrechner auf Grad (DEG) stellen.

Beispiel

Katheten 5 (Gegenkathete) und 8 (Ankathete).

tan⁡α=58=0,625\tan\alpha = \dfrac{5}{8} = 0{,}625
Gegenkathete / Ankathete.
α≈32,0°\alpha \approx 32{,}0°
Taste tan⁻¹.

Du bist dran

Jetzt du: sin⁡α=12\sin\alpha = \dfrac{1}{2}. Bestimme α\alpha in Grad.

30°30°
Besonderer Winkel.

Üben ★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 10 und die Ankathete 12 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 8 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  1. Was bedeutet sin⁡−1(0,7)\sin^{-1}(0{,}7) auf dem Taschenrechner?
    1. Den Winkel, dessen Sinus 0,70{,}7 ist
    2. 1sin⁡0,7\dfrac{1}{\sin 0{,}7}
    3. −sin⁡(0,7)-\sin(0{,}7)

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von α\alpha 5 lang und die Hypotenuse 15. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von α\alpha 6 lang und die Hypotenuse 10. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 10 und die Ankathete 12 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 8 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 12 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).

Merkkarte

Einen Winkel berechnen

  • sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ des Quotienten.
  • Taschenrechner auf Grad.

Achtung: Das ist kein Kehrwert.

Ende der Lektion

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Lösungen: Winkel mit Umkehrfunktionen berechnen

A

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}

B

  1. Den Winkel, dessen Sinus 0,70{,}7 ist

C

  1. 180sin⁡−1(13)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{\pi}
  2. 180sin⁡−1(35)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)}}{\pi}

D

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}
  3. 180tan⁡−1(43)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{\pi}

CC BY-SA 4.0