Sinus und Kosinus von Komplementwinkeln

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 9 › Trigonometrie

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Sinus und Kosinus von Komplementwinkeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Im rechtwinkligen Dreieck mit den spitzen Winkeln α\alpha und β\beta ist die Gegenkathete von α\alpha die Ankathete von β\beta. Also ist sin⁡α\sin\alpha gleich …

  1. cos⁡β\cos\beta
  2. sin⁡β\sin\beta

Die Grundidee

Sinus und Kosinus von Winkeln, die sich zu 90° ergänzen.

Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen 90∘90^\circ, und es gilt sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha), cos⁡α=sin⁡(90∘−α)\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha).

Beispiel

sin⁡25∘=cos⁡  ?\sin 25^\circ = \cos\;?

90−25=6590 - 25 = 65
Ergänzung zu 90°.
sin⁡25∘=cos⁡65∘\sin 25^\circ = \cos 65^\circ
Sinus und Kosinus tauschen.

Du bist dran

Jetzt du: cos⁡72∘=sin⁡y∘\cos 72^\circ = \sin y^\circ mit spitzem Winkel yy.

y=18y = 18
90 − 72.

Üben ★

  1. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡21∘=cos⁡y∘\sin 21^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  2. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡69∘=cos⁡y∘\sin 69^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin⁡α=310\sin\alpha = \dfrac{ 3 }{ 10 }. Bestimme cos⁡β\cos\beta, wobei β\beta der andere spitze Winkel ist.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Warum gilt sin⁡65∘=cos⁡25∘\sin 65^\circ = \cos 25^\circ?
    1. Im selben rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete des Winkels 65∘65^\circ die Ankathete des anderen spitzen Winkels
    2. Weil Sinus und Kosinus zusammen immer 1 ergeben
    3. Weil Sinus und Kosinus dieselbe Funktion sind

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡21∘=cos⁡y∘\sin 21^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  2. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡69∘=cos⁡y∘\sin 69^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  3. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡80∘=cos⁡y∘\sin 80^\circ = \cos y^\circ (in Grad).

Merkkarte

Ergänzung zu 90°

sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha).

Achtung: Gleiche Werte brauchen Winkel, die sich zu 90° ergänzen, nicht denselben Winkel.

Ende der Lektion

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Lösungen: Sinus und Kosinus von Komplementwinkeln

A

  1. 6969
  2. 2121

B

  1. 310\frac{3}{10}

C

  1. Im selben rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete des Winkels 65∘65^\circ die Ankathete des anderen spitzen Winkels

D

  1. 6969
  2. 2121
  3. 1010

CC BY-SA 4.0