Der Sinussatz

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Jahrgangsstufe 9 › Trigonometrie

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Der Sinussatz

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welcher Seite liegt in einem Dreieck der größte Winkel gegenüber?

  1. Der längsten Seite
  2. Der kürzesten Seite

Die Grundidee

Die Seiten verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

Sinussatz: In jedem Dreieck gilt asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}. Verwende ihn, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel und ein weiteres Stück kennst: zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen Winkel, der nicht dazwischen liegt (prüfe, ob es ein zweites Dreieck gibt).

Beispiel

α\alpha = 30°, β\beta = 45°, a = 6.

bsin⁡45°=6sin⁡30°\dfrac{b}{\sin 45°} = \dfrac{6}{\sin 30°}
Ansatz.
b=6⋅2/21/2=62b = 6 \cdot \dfrac{\sqrt2/2}{1/2} = 6\sqrt2
Auflösen.

Du bist dran

Jetzt du: α\alpha = 30°, a = 5. Wie groß ist a : sin α\alpha?

1010
5 : ½.

Üben ★

  1. Du kennst einige Stücke eines Dreiecks ohne rechten Winkel. Wann ist der Sinussatz das richtige Werkzeug?
    1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 7
    2. Wenn du die drei Seiten kennst
    3. Wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst
  2. Du kennst einige Stücke eines Dreiecks ohne rechten Winkel. Wann ist der Sinussatz das richtige Werkzeug?
    1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 3
    2. Wenn du die drei Seiten kennst
    3. Wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst
  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, a = 7 und b = 11. Bestimme mit dem Sinussatz sin β.
  2. Im Dreieck ABC sind α = 30°, a = 11 und b = 10. Bestimme mit dem Sinussatz sin β.
  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.
  2. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 6 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.
  3. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 4 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Merkkarte

Sinussatz

a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

Achtung: Jede Seite mit ihrem Gegenwinkel paaren.

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Lösungen: Der Sinussatz

A

  1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 7
  2. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 3

B

  1. 222 \sqrt{2}

C

  1. 1114\frac{11}{14}
  2. 511\frac{5}{11}

D

  1. 222 \sqrt{2}

E

  1. 222 \sqrt{2}
  2. 626 \sqrt{2}
  3. 424 \sqrt{2}

CC BY-SA 4.0