Segments proportionnels : théorème de Thalès

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Une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés. Si elle partage l'un dans le rapport $1 : 2$ , comment partage-t-elle l'autre ?

Aussi dans le rapport $1 : 2$
Cela dépend de l'angle

Fais glisser $DE$ . Divise $AD$ par $AB$ , puis $AE$ par $AC$ .

Les deux quotients sont toujours égaux
$AD$ est toujours égal à $AE$

L'idée clé

Les droites parallèles partagent les côtés proportionnellement.

Théorème de Thalès : si $D \in (AB)$ , $E \in (AC)$ et $(DE) \parallel (BC)$ , alors $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ . La configuration peut être « emboîtée » ou « en papillon ».

Réciproque : si $A$ , $D$ , $B$ et $A$ , $E$ , $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ , alors $(DE) \parallel (BC)$ . Contraposée : si les quotients sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

Exemple corrigé

$AD = 4$ , $DB = 6$ , $AE = 6$ , $(DE) \parallel (BC)$ . Calcule $EC$ .

\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{AC}

AD/AB = AE/AC, avec AB = 10.

AC = 15

On calcule AC.

EC = 9

On retranche AE.

À toi, guidé

À toi : $BC = 18$ . Quelle est la longueur du segment joignant les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ ?

9

La moitié.

Entraînement ★

Dans le triangle $ABC$ , une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$ , avec $AD = 5$ , $DB = 3$ et $AE = 9$ . Calcule $EC$ .Figure non à l'échelle
Dans le triangle $ABC$ , une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$ , avec $AD = 4$ , $DB = 3$ et $AE = 9$ . Calcule $EC$ .Figure non à l'échelle

Dans un triangle, $BC = 26$ . Le segment joignant les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ mesure…

Attention !

Entraînement ★★

$(DE) \parallel (BC)$ , avec $D$ sur $[AB]$ et $E$ sur $[AC]$ ; $AD = 2$ , $DB = 7$ , $AE = 3$ . Calcule $AC$ .Figure non à l'échelle

Problème final. Dans le triangle $ABC$ , $(DE) \parallel (BC)$ avec $D$ sur $[AB]$ , $AD = 6$ , $DB = 1$ et $DE = 8$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Dans le triangle $ABC$ , une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$ , avec $AD = 5$ , $DB = 3$ et $AE = 9$ . Calcule $EC$ .Figure non à l'échelle
Dans le triangle $ABC$ , une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$ , avec $AD = 4$ , $DB = 3$ et $AE = 9$ . Calcule $EC$ .Figure non à l'échelle
Dans le triangle $ABC$ , une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$ , avec $AD = 7$ , $DB = 8$ et $AE = 5$ . Calcule $EC$ .Figure non à l'échelle

Fiche résumé

Thalès

$(DE) \parallel (BC)$ : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ .
La réciproque prouve un parallélisme.

Attention : garde le même ordre dans les rapports.

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