Réciproque du théorème de Pythagore ; applications et distances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un triangle a pour côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?

Oui
On ne peut pas savoir

L'idée clé

La réciproque, la contraposée, et les applications.

Réciproque : si $a^2 + b^2 = c^2$ , où $c$ est le plus long côté, alors le triangle est rectangle. Contraposée : si $a^2 + b^2 \neq c^2$ , il n'est pas rectangle.

Une distance dans un repère orthonormé est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Exemple corrigé

Distance entre $(1 ; 2)$ et $(7 ; 10)$ .

Côtés 6 et 8

Écarts.

Distance 10

√(36 + 64).

À toi, guidé

À toi : distance entre $(0 ; 0)$ et $(5 ; 12)$ .

13

√(25 + 144).

Entraînement ★

Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est-il rectangle ?
1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
Un triangle de côtés 9, 12 et 15 est-il rectangle ?
1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle

Une échelle de 13 m est appuyée contre un mur et monte à 12 m. À quelle distance du mur est son pied ?

Attention !

Entraînement ★★

Un triangle de côtés 7, 8 et 9 est-il rectangle ?
1. Non : $49 + 64$ n'est pas $81$
2. Oui : comme 3, 4, 5, les côtés sont consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
Un triangle de côtés 6, 7 et 8 est-il rectangle ?
1. Non : $36 + 49$ n'est pas $64$
2. Oui : comme 3, 4, 5, les côtés sont consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle

Problème final. Calcule la distance entre $A(-1 ; -5)$ et $B(5 ; 3)$ à l'aide d'un triangle rectangle.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est-il rectangle ?
1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
Un triangle de côtés 9, 12 et 15 est-il rectangle ?
1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
Un triangle de côtés 15, 20 et 25 est-il rectangle ?
1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle

Fiche résumé

Réciproque de Pythagore

$a^2 + b^2 = c^2$ : angle droit.
Contraposée : égalité fausse, pas rectangle.

Attention : teste toujours avec le plus long côté comme $c$ .

Fin de la leçon

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