Le nombre dérivé : définition par une limite

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Dérivation

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Le nombre dérivé : définition par une limite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x2y = x^2. La droite bleue passe par ses points d'abscisses aa et a+ha + h. Déplace aa, puis réduis hh.

La parabole y = x² et une sécante passant par ses points d'abscisses a et a + h. Quand h diminue, la sécante tend vers la tangente en a, de coefficient directeur 2a.

Avec a=1a = 1, le coefficient directeur de la droite bleue est 2+h2 + h. Vers quoi tend-il quand hh tend vers 0 ?

  1. 2
  2. 1

L'idée clé

Le taux de variation de ff entre aa et a+ha + h est le coefficient directeur de la sécante. Sa limite est le nombre dérivé.

  1. Étape 1h = 2 : la sécante passant par P et Q a pour coefficient directeur 2.
  2. Étape 2h = 1 : coefficient directeur 1,5.
  3. Étape 3h = 0,5 : coefficient directeur 1,25.
  4. Étape 4h = 0,1 : coefficient directeur 1,05 ; les valeurs tendent vers 1, celui de la tangente en P.

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}, si cette limite existe. C'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse aa.

Exemple corrigé

f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. Calcule f′(2)f'(2).

f(2+h)−f(2)=7h+h2f(2 + h) - f(2) = 7h + h^2
f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h et f(2) = 10.
f(2+h)−f(2)h=7+h\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = 7 + h
On divise par h ≠ 0.
f′(2)=7f'(2) = 7
h tend vers 0.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x en a=1a = 1.

f(1+h)−f(1)=5h+h2f(1 + h) - f(1) = 5h + h^2
f(1 + h) = 1 + 2h + h² + 3 + 3h et f(1) = 4.
f′(1)=5f'(1) = 5
On divise par h, puis h tend vers 0.

Entraînement ★

  1. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(4)=lim⁡h→0f(4+h)−f(4)hf'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h} pour calculer f′(4)f'(4).
  2. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} pour calculer f′(2)f'(2).
  3. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x. Utilise f′(5)=lim⁡h→0f(5+h)−f(5)hf'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h} pour calculer f′(5)f'(5).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle expression est égale à f′(2)f'(2) ?
    1. lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}
    2. lim⁡h→0(f(2+h)−f(2))\displaystyle\lim_{h \to 0} \big(f(2 + h) - f(2)\big)
    3. f(2+1)−f(2)1\dfrac{f(2 + 1) - f(2)}{1}
    4. f(2)f(2)
  1. f(x)=4xf(x) = \dfrac{ 4 }{x}. Utilise la définition par une limite pour calculer f′(3)f'(3).
  2. f(x)=6xf(x) = \dfrac{ 6 }{x}. Utilise la définition par une limite pour calculer f′(4)f'(4).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(4)=lim⁡h→0f(4+h)−f(4)hf'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h} pour calculer f′(4)f'(4).
  2. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} pour calculer f′(2)f'(2).
  3. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x. Utilise f′(5)=lim⁡h→0f(5+h)−f(5)hf'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h} pour calculer f′(5)f'(5).

Fiche résumé

Nombre dérivé

  • Écris et simplifie f(a+h)−f(a)f(a + h) - f(a).
  • Divise par hh, puis fais tendre hh vers 0.

Attention : f′(a)f'(a) est un coefficient directeur, pas la valeur f(a)f(a).

Fin de la leçon

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Corrigé: Le nombre dérivé : définition par une limite

A

  1. 1212
  2. 88
  3. 1515

B

  1. lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}

C

  1. −49- \frac{4}{9}
  2. −38- \frac{3}{8}

D

  1. 1212
  2. 88
  3. 1515

CC BY-SA 4.0