La fonction dérivée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^3 - 3x$ . La droite bleue est sa tangente en $x = a$ . Fais glisser $a$ de $-2$ à $2$ et regarde le coefficient directeur.

La cubique y = x³ − 3x et sa tangente en x = a. La tangente est horizontale en x = −1 et en x = 1, descend entre les deux et monte à l'extérieur.

Entre $x = -1$ et $x = 1$ , la courbe descend. Quel est le signe du coefficient directeur ?

Négatif
Positif

L'idée clé

Calculer $f'(a)$ pour chaque $a$ donne une nouvelle fonction.

La fonction dérivée est

f' : x \mapsto f'(x)

. Là où

f

croît,

f'(x) \geq 0

; là où

f

décroît,

f'(x) \leq 0

; là où la tangente est horizontale,

f'(x) = 0

.

Exemple corrigé

$f(x) = x^2 - 4x$ . Calcule $f'(x)$ .

f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

On développe et on retranche x² − 4x.

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h - 4

On divise par h ≠ 0.

f'(x) = 2x - 4

h tend vers 0. Vérification : f' = 0 en x = 2, au sommet.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^2 + 6x$ .

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h + 6

Mêmes étapes.

f'(x) = 2x + 6

h tend vers 0.

Entraînement ★

Voici la courbe de $y = f(x)$ . Touche le point de la courbe où $f'(x) = 0$ .
Voici la courbe de $y = f(x)$ . Touche le point de la courbe où $f'(x) = 0$ .

$f(x) = (x - 3)^2 + 3$ , une parabole de sommet $(3 ; 3)$ . Coche toutes les affirmations vraies.
1. $f'(3) = 0$
2. $f'(x) < 0$ pour $x < 3$
3. $f'(x) > 0$ pour $x > 3$
4. $f'(3) = 3$
5. $f'(x) > 0$ pour tout $x$ , car $f(x) > 0$

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Utilise $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ pour calculer $f'(x)$ .

Fiche résumé

Fonction dérivée

$f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente en $x$ .
$f$ croît : $f' \geq 0$ . $f$ décroît : $f' \leq 0$ .

Attention : $f' = 0$ (tangente horizontale) n'est pas $f = 0$ (sur l'axe).

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