Dérivée des puissances, d'un produit par une constante et d'une somme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À partir de la définition : $(x^2)' = 2x$ et $(x^3)' = 3x^2$ . Devine la suite : que vaut $(x^4)'$ ?

$4x^3$
$x^3$

L'idée clé

Ces règles remplacent le calcul de limite.

$(x^n)' = nx^{n - 1}$ pour $n$ dans $\mathbb{Z}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$ .

$(kf)' = kf'$ ; $(f + g)' = f' + g'$ ; la dérivée d'une constante est nulle.

Exemple corrigé

$f(x) = 5x^3 - \dfrac{2}{x} + 7$ . Calcule $f'(x)$ .

f(x) = 5x^3 - 2x^{-1} + 7

On écrit la fraction comme une puissance.

f'(x) = 15x^2 + 2x^{-2}

Terme à terme ; la constante 7 donne 0.

f'(x) = 15x^2 + \dfrac{2}{x^2}

On revient à une fraction.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = 4x^5 + 3x - 9$ .

f'(x) = 20x^4 + 3

20x⁴, 3 et 0.

Entraînement ★

$f(x) = 8x^{ 5 } + 3x$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = 4x^{ 3 } + 6x$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = 6x^{ 5 } + 5x$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \dfrac{ 6 }{x^{ 2 } }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{ 9 }{x^{ 3 } }$ . Calcule $f'(x)$ .

$f(x) = 3\sqrt{x} + 8$ . Calcule $f'(x)$ pour $x > 0$ .
$f(x) = 5\sqrt{x} + 4$ . Calcule $f'(x)$ pour $x > 0$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = 8x^{ 5 } + 3x$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = 4x^{ 3 } + 6x$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = 6x^{ 5 } + 5x$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Dérivées usuelles

$(x^n)' = nx^{n - 1}$ ; écris d'abord racines et fractions comme il faut.
Les constantes multiplicatives restent ; les sommes se séparent.

Attention : avec un exposant négatif, $-2 - 1 = -3$ .

Fin de la leçon

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