Fonction exponentielle : définition et propriétés

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle : définition et propriétés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On admet qu'il existe une unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff' = f et f(0)=1f(0) = 1. Laquelle ?

  1. La fonction exponentielle
  2. La fonction carré

L'idée clé

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.

exp⁡′=exp⁡\exp' = \exp et exp⁡(0)=1\exp(0) = 1. On note ex=exp⁡(x)\mathrm{e}^x = \exp(x), avec e≈2,718\mathrm{e} \approx 2{,}718.

ex+y=exey\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^y ; e−x=1ex\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x} ; ex−y=exey\mathrm{e}^{x - y} = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^y} ; (ex)n=enx(\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx}.

Exemple corrigé

Simplifie e3xe2ex\dfrac{\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{x}}.

e3x+2ex\dfrac{\mathrm{e}^{3x + 2}}{\mathrm{e}^x}
Produit au numérateur.
e2x+2\mathrm{e}^{2x + 2}
Quotient.

À toi, guidé

À toi : simplifie ex×e−x\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}.

11
e⁰.

Entraînement ★

  1. Simplifie e2x×e3x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.
  2. Simplifie e2x×e4x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 4x }.
  3. Simplifie e8x×e3x\mathrm{e}^{ 8x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Simplifie e8xe3x\dfrac{\mathrm{e}^{ 8x }}{\mathrm{e}^{ 3x }}.
  2. Simplifie e9xe1x\dfrac{\mathrm{e}^{ 9x }}{\mathrm{e}^{ 1x }}.
  1. Simplifie (e4x)5\left(\mathrm{e}^{ 4x }\right)^{ 5 }.
  1. Quel est le signe de ex\mathrm{e}^x ?
    1. Strictement positif pour tout réel xx
    2. Négatif pour x<0x < 0
    3. Nul en 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Simplifie e2x×e3x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.
  2. Simplifie e2x×e4x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 4x }.
  3. Simplifie e8x×e3x\mathrm{e}^{ 8x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.

Fiche résumé

Exponentielle

  • exp⁡′=exp⁡\exp' = \exp, exp⁡(0)=1\exp(0) = 1.
  • ex+y=exey\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^y.

Attention : ex+y\mathrm{e}^{x + y} n'est pas ex+ey\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y.

Fin de la leçon

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Corrigé: Fonction exponentielle : définition et propriétés

A

  1. e5xe^{5 x}
  2. e6xe^{6 x}
  3. e11xe^{11 x}

B

  1. e5xe^{5 x}
  2. e8xe^{8 x}

C

  1. e20xe^{20 x}

D

  1. Strictement positif pour tout réel xx

E

  1. e5xe^{5 x}
  2. e6xe^{6 x}
  3. e11xe^{11 x}

CC BY-SA 4.0