Vecteur normal et équation de droite

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Géométrie repérée

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Vecteur normal et équation de droite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite d'équation 2x+3y−1=02x + 3y - 1 = 0. Lequel de ces vecteurs lui est normal ?

  1. n⃗(2;3)\vec{n}(2 ; 3)
  2. n⃗(3;−2)\vec{n}(3 ; -2)

L'idée clé

Un vecteur normal est orthogonal à la droite.

n⃗(a;b)\vec{n}(a ; b) est normal à la droite ax+by+c=0ax + by + c = 0. Un vecteur directeur est u⃗(−b;a)\vec{u}(-b ; a).

Avec un point AA et n⃗\vec{n} : M∈d  ⟺  AM→⋅n⃗=0M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.

Exemple corrigé

Droite passant par A(1;2)A(1 ; 2), de vecteur normal n⃗(3;4)\vec{n}(3 ; 4).

3x+4y+c=03x + 4y + c = 0
Forme.
3+8+c=03 + 8 + c = 0
On utilise A.
3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0
Équation.

À toi, guidé

À toi : quelle valeur de cc pour x+y+c=0x + y + c = 0 passant par (2;3)(2 ; 3) ?

−5-5
2 + 3 + c = 0.

Entraînement ★

  1. La droite dd passe par (5;6)(5 ; 6) et a pour vecteur normal n⃗(3;5)\vec{n}(3 ; 5). Dans 3x+5y+c=03x + 5y + c = 0, que vaut cc ?
  2. La droite dd passe par (4;5)(4 ; 5) et a pour vecteur normal n⃗(2;4)\vec{n}(2 ; 4). Dans 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0, que vaut cc ?
  3. La droite dd passe par (3;3)(3 ; 3) et a pour vecteur normal n⃗(5;3)\vec{n}(5 ; 3). Dans 5x+3y+c=05x + 3y + c = 0, que vaut cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Lequel est un vecteur directeur de 8x+7y+6=08x + 7y + 6 = 0 ?
    1. (−7;8)(-7 ; 8)
    2. (8;7)(8 ; 7)
    3. (6;6)(6 ; 6)
  2. Lequel est un vecteur directeur de 9x+5y+9=09x + 5y + 9 = 0 ?
    1. (−5;9)(-5 ; 9)
    2. (9;5)(9 ; 5)
    3. (9;9)(9 ; 9)
  1. Quel est un vecteur normal à la droite 6x+4y−1=06x + 4y - 1 = 0 ?
    1. n⃗(6;4)\vec{n}(6 ; 4)
    2. n⃗(−4;6)\vec{n}(-4 ; 6)
    3. n⃗(6;−1)\vec{n}(6 ; -1)
  1. Le point M(3;y)M(3 ; y) est sur la droite 6x−y+5=06x - y + 5 = 0. Que vaut yy ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La droite dd passe par (5;6)(5 ; 6) et a pour vecteur normal n⃗(3;5)\vec{n}(3 ; 5). Dans 3x+5y+c=03x + 5y + c = 0, que vaut cc ?
  2. La droite dd passe par (4;5)(4 ; 5) et a pour vecteur normal n⃗(2;4)\vec{n}(2 ; 4). Dans 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0, que vaut cc ?
  3. La droite dd passe par (3;3)(3 ; 3) et a pour vecteur normal n⃗(5;3)\vec{n}(5 ; 3). Dans 5x+3y+c=05x + 3y + c = 0, que vaut cc ?

Fiche résumé

Vecteur normal

  • ax+by+c=0ax + by + c = 0 : n⃗(a;b)\vec{n}(a ; b).
  • Pour cc : remplace un point.

Attention : normal n'est pas directeur.

Fin de la leçon

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Corrigé: Vecteur normal et équation de droite

A

  1. −45-45
  2. −28-28
  3. −24-24

B

  1. (−7;8)(-7 ; 8)
  2. (−5;9)(-5 ; 9)

C

  1. n⃗(6;4)\vec{n}(6 ; 4)

D

  1. 2323

E

  1. −45-45
  2. −28-28
  3. −24-24

CC BY-SA 4.0