Probabilité conditionnelle et arbres pondérés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

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Dans une classe, 60 % des élèves sont des filles, et 25 % des filles portent des lunettes. Quelle est la probabilité de choisir une fille à lunettes ?

$0{,}15$
$0{,}25$

L'idée clé

$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ».

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ , donc $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$ .

Exemple corrigé

$P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}5$ , $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2$ . Calcule $P(B)$ .

0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15

Chemin par A.

0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14

Chemin par Ā.

P(B) = 0{,}29

Probabilités totales.

À toi, guidé

À toi : $P(A) = 0{,}5$ et $P_A(B) = 0{,}4$ . Calcule $P(A \cap B)$ .

0{,}2

0,5 × 0,4.

Entraînement ★

$P(A) = \dfrac{ 4 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 9 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$P(A) = \dfrac{ 6 }{10}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}$ . Calcule $P_A(B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 4 }{10}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}$ . Calcule $P_A(B)$ .

$P_A(B) = \dfrac{ 8 }{10}$ . Calcule $P_A(\bar{B})$ .

Sur 14 élèves, 9 font du sport, dont 6 sont internes. On choisit un sportif. Quelle est la probabilité qu'il soit interne ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$P(A) = \dfrac{ 4 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 9 }{10}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .

Fiche résumé

Conditionnelle

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins.

Attention : $P_A(B)$ n'est pas $P(A \cap B)$ .

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