Produit scalaire : projection et cosinus

Découvrir

Quel type d'objet est $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

Un nombre
Un vecteur

L'idée clé

Le produit scalaire mesure l'alignement de deux vecteurs.

Figure non à l'échelle

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ .

Avec la projection $H$ de $C$ sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ si $H$ est du côté de $B$ , $-AB \times AH$ sinon. Et $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Exemple corrigé

$\|\vec{u}\| = 3$ , $\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle vaut $\dfrac{\pi}{3}$ .

\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos\dfrac{\pi}{3}

Formule.

= 6

cos(π/3) = 1/2.

À toi, guidé

À toi : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

0

cos(π/2) = 0.

Entraînement ★

$\|\vec{u}\| = 5$ , $\|\vec{v}\| = 3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
$\|\vec{u}\| = 7$ , $\|\vec{v}\| = 8$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
$\|\vec{u}\| = 2$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Attention !

Entraînement ★★

Le projeté $H$ de $C$ sur $(AB)$ est du côté opposé à $B$ par rapport à $A$ , avec $AB = 2$ et $AH = 5$ . Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
Le projeté $H$ de $C$ sur $(AB)$ est du côté opposé à $B$ par rapport à $A$ , avec $AB = 5$ et $AH = 5$ . Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, avec $\|\vec{u}\| = 8$ et $\|\vec{v}\| = 2$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont même direction et même sens, avec $\|\vec{u}\| = 3$ et $\|\vec{v}\| = 5$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\|\vec{u}\| = 5$ , $\|\vec{v}\| = 3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
$\|\vec{u}\| = 7$ , $\|\vec{v}\| = 8$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
$\|\vec{u}\| = 2$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Fiche résumé

Produit scalaire

$\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ .
Nul si orthogonaux.

Attention : c'est un nombre, il peut être négatif.

À propos de cette leçon