Produit scalaire en base orthonormée

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Produit scalaire

Avec le corrigé

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Produit scalaire en base orthonormée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans une base orthonormée, $\vec{u}(1 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; 4)$ . Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

$11$
$(3 ; 8)$

L'idée clé

En base orthonormée, le calcul est direct.

$\vec{u}(x ; y) \cdot \vec{v}(x' ; y') = xx' + yy'$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0$ . Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

Exemple corrigé

Pour quel $k$ a-t-on $\vec{u}(2 ; k) \perp \vec{v}(3 ; -6)$ ?

6 - 6k = 0

Produit scalaire.

k = 1

On résout.

À toi, guidé

À toi : calcule $\vec{u}(2 ; 3) \cdot \vec{v}(4 ; -1)$ .

5

8 − 3.

Entraînement ★

Calcule $\vec{u}(6 ; 4) \cdot \vec{v}(1 ; 7)$ .
Calcule $\vec{u}(8 ; 6) \cdot \vec{v}(9 ; 8)$ .
Calcule $\vec{u}(7 ; 2) \cdot \vec{v}(6 ; 2)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Pour quel $k$ a-t-on $\vec{u}(9 ; 3) \perp \vec{v}(k ; -9)$ ?
Pour quel $k$ a-t-on $\vec{u}(9 ; 6) \perp \vec{v}(k ; -9)$ ?

Calcule $\vec{u} \cdot \vec{u}$ pour $\vec{u}(4 ; 6)$ .

$\vec{u}(1 ; 0)$ et $\vec{v}(-4 ; 1)$ . L'angle entre ces vecteurs est :
1. Obtus
2. Aigu
3. Droit

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\vec{u}(6 ; 4) \cdot \vec{v}(1 ; 7)$ .
Calcule $\vec{u}(8 ; 6) \cdot \vec{v}(9 ; 8)$ .
Calcule $\vec{u}(7 ; 2) \cdot \vec{v}(6 ; 2)$ .

Fiche résumé

Coordonnées

$xx' + yy'$ .
Orthogonaux : produit nul.

Attention : c'est un nombre, pas un vecteur.

Fin de la leçon

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Corrigé: Produit scalaire en base orthonormée

A

$34$
$120$
$46$

B

$3$
$6$

C

$52$

D

Obtus

E

$34$
$120$
$46$

CC BY-SA 4.0