Normes et formule d'Al-Kashi

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ en général ?

Le produit scalaire relie longueurs et angles.

Figure non à l'échelle

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ .

Formule d'Al-Kashi : dans un triangle, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ .

$AB = 5$ , $AC = 8$ , $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$ . Calcule $BC$ .

BC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2}

Al-Kashi.

BC^2 = 49

On calcule.

BC = 7

Longueur.

À toi : si $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2}$ et $AB = 3$ , $AC = 4$ , que vaut $BC$ ?

5

Pythagore.

$\|\vec{u}\| = 4$ , $\|\vec{v}\| = 1$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$ . Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ .
$\|\vec{u}\| = 9$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 8$ . Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ .

Problème final. Dans un triangle $ABC$ , $AB = 3$ , $AC = 4$ et $\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Dans un triangle rectangle en $A$ , $AB = 9$ et $AC = 12$ . Calcule $BC^2$ avec la formule d'Al-Kashi.

$\|\vec{u}\| = 5$ , $\|\vec{v}\| = 6$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$ . Calcule $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ .

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Al-Kashi

Attention : attention au signe si l'angle est obtus.

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