La formule quadratique et le discriminant

Découvrir

$x^2 + 2x + 5 = 0$ . La forme canonique donne $(x + 1)^2 = -4$ . Combien y a-t-il de solutions réelles ?

Aucune
Deux

L'idée clé

La forme canonique conduit à une formule générale.

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ , on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Si $\Delta > 0$ : deux racines $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : une racine double $-\dfrac{b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle.

Exemple corrigé

Résous $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

\Delta = 9 + 16 = 25

a = 2, b = 3, c = −2.

x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}

Formule.

x = \dfrac{1}{2}

ou

x = -2

Deux racines.

À toi, guidé

À toi : calcule le discriminant de $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

1

25 − 24.

Entraînement ★

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .

Combien de solutions réelles a $x^2 + 7x + 49 = 0$ ?
1. Aucune
2. Deux
3. Une

Attention !

Entraînement ★★

Résous $2x^2 + 5x - 1 = 0$ . Donne toutes les solutions (utilise sqrt).
Résous $2x^2 + 7x - 6 = 0$ . Donne toutes les solutions (utilise sqrt).

Problème final. Un jardin rectangulaire a une longueur de 7 m de plus que sa largeur, et son aire vaut 294 m². On note $w$ sa largeur en mètres.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $2x^2 + 8x + 5 = 0$ .

Fiche résumé

Discriminant

$\Delta = b^2 - 4ac$ donne le nombre de racines.
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Attention : $2a$ divise tout le numérateur.

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