Suites : formule explicite et relation de récurrence

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite commence par $5, 8, 11, 14, \dots$ Quelle règle donne chaque terme à partir du précédent ?

Ajouter 3
Multiplier par 3

L'idée clé

Une suite associe un nombre $u_n$ à chaque entier naturel $n$ .

Une formule explicite donne

u_n

directement à partir de

n

(par exemple

u_n = 3n + 2

). Une relation de récurrence donne un premier terme et le passage d'un terme au suivant (par exemple

u_1 = 5

,

u_{n + 1} = u_n + 3

).

Exemple corrigé

$u_1 = 2$ et $u_{n + 1} = 3u_n - 1$ . Calcule $u_4$ .

u_2 = 3 \times 2 - 1 = 5

On applique la relation à u₁.

u_3 = 3 \times 5 - 1 = 14

Puis à u₂.

u_4 = 3 \times 14 - 1 = 41

Puis à u₃.

À toi, guidé

À toi : $u_n = n^2 - 1$ . Calcule $u_5$ .

u_5 = 5^2 - 1

On remplace n par 5.

u_5 = 24

25 − 1.

Entraînement ★

$u_n = n^2 + 5$ . Complète le tableau.
$u_n = n^2 + 9$ . Complète le tableau.

Attention !

Entraînement ★★

$u_1 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 7$ . Calcule $u_3$ .
$u_1 = 6$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$ . Calcule $u_3$ .
$u_1 = 4$ et $u_{n+1} = 2u_n - 6$ . Calcule $u_3$ .

Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $1, 6, 11, 16, \dots$
Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $3, 10, 17, 24, \dots$
Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $8, 14, 20, 26, \dots$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $1, 6, 11, 16, \dots$
Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $3, 10, 17, 24, \dots$
Écris une formule pour $u_n$ , à partir de $n = 1$ : $8, 14, 20, 26, \dots$

Fiche résumé

Suites

Formule explicite : $u_n$ directement à partir de $n$ .
Récurrence : premier terme et passage de $u_n$ à $u_{n + 1}$ .

Attention : vérifie ta formule pour le premier rang.

À propos de cette leçon