Sens de variation d'une suite et limite intuitive

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Suites numériques

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Sens de variation d'une suite et limite intuitive

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite vérifie un+1−un=2u_{n + 1} - u_n = 2 pour tout nn. Comment varie-t-elle ?

  1. Elle est croissante
  2. Elle est décroissante

L'idée clé

On compare deux termes consécutifs.

(un)(u_n) est croissante si un+1≥unu_{n + 1} \geq u_n pour tout nn, décroissante si un+1≤unu_{n + 1} \leq u_n pour tout nn. On étudie le signe de un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Une suite peut s'approcher d'un nombre, grandir sans limite ou ne pas avoir de limite (notion intuitive).

Exemple corrigé

Étudie un=n2−nu_n = n^2 - n.

un+1−un=(n+1)2−(n+1)−n2+nu_{n + 1} - u_n = (n + 1)^2 - (n + 1) - n^2 + n
On calcule.
un+1−un=2nu_{n + 1} - u_n = 2n
On simplifie.
(un)(u_n) est croissante.
Positif ou nul.

À toi, guidé

À toi : pour un=5−nu_n = 5 - n, que vaut un+1−unu_{n + 1} - u_n ?

−1-1
(5 − n − 1) − (5 − n).

Entraînement ★

  1. Pour un=8n+3u_n = 8n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  2. Pour un=2n+5u_n = 2n + 5, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  3. Pour un=7n+3u_n = 7n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Vers quoi semble tendre un=5nu_n = \dfrac{ 5 }{n} quand nn devient très grand ?
    1. 00
    2. 55
    3. +∞+\infty
  2. Vers quoi semble tendre un=6nu_n = \dfrac{ 6 }{n} quand nn devient très grand ?
    1. 00
    2. 66
    3. +∞+\infty
  1. Quel est le sens de variation de un=−2n+7u_n = -2n + 7 ?
    1. Décroissante
    2. Croissante
    3. Constante
  1. un=5nu_n = 5^n. Quel test montre que cette suite positive est croissante ?
    1. un+1un=5>1\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = 5 > 1
    2. u0>0u_0 > 0
    3. un+1=5u_{n + 1} = 5

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour un=8n+3u_n = 8n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  2. Pour un=2n+5u_n = 2n + 5, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  3. Pour un=7n+3u_n = 7n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Fiche résumé

Sens de variation

  • Signe de un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  • Vrai pour tout nn.

Attention : quelques termes ne suffisent pas.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Sommes : 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qⁿ Retour au chapitre

Corrigé: Sens de variation d'une suite et limite intuitive

A

  1. 88
  2. 22
  3. 77

B

  1. 00
  2. 00

C

  1. Décroissante

D

  1. un+1un=5>1\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = 5 > 1

E

  1. 88
  2. 22
  3. 77

CC BY-SA 4.0