Signe de la dérivée et variations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur un intervalle, $f'(x) > 0$ partout. Comment varie $f$ ?

Elle est strictement croissante
Elle est positive

L'idée clé

Le signe de $f'$ donne le sens de variation.

Sur un intervalle :

f' \geq 0 \iff f

croissante ;

f' \leq 0 \iff f

décroissante ;

f' = 0 \iff f

constante.

Exemple corrigé

Étudie $f(x) = x^2 - 6x + 1$ .

f'(x) = 2x - 6

Dérivée.

f'(x) \geq 0 \iff x \geq 3

Signe.

f

décroît sur

]-\infty ; 3]

et croît sur

[3 ; +\infty[

.

Variations.

À toi, guidé

À toi : pour $f(x) = x^2 + 8x$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?

-4

2x + 8 = 0.

Entraînement ★

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 5$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?
Pour $f(x) = x^2 - 8x + 8$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?
Pour $f(x) = x^2 - 2x + 8$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

$f'(x) = 7(x - 1)^2$ . Quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
1. Croissante
2. Décroissante
3. Décroissante puis croissante, car $f'(1) = 0$
$f'(x) = 6(x - 1)^2$ . Quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
1. Croissante
2. Décroissante
3. Décroissante puis croissante, car $f'(1) = 0$

$f'(x) = x - 4$ . Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
1. $[4 ; +\infty[$
2. $]-\infty ; 4]$
3. $\mathbb{R}$ tout entier

$f'$ s'annule en $a$ en passant du positif au négatif. Qu'a $f$ en $a$ ?
1. Un maximum local
2. Un minimum local
3. Rien de particulier

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 5$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?
Pour $f(x) = x^2 - 8x + 8$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?
Pour $f(x) = x^2 - 2x + 8$ , où $f'$ s'annule-t-elle ?

Fiche résumé

Variations

$f' \geq 0$ : $f$ croît. $f' \leq 0$ : $f$ décroît.
On résume dans un tableau de variations.

Attention : ne confonds pas signe de $f'$ et signe de $f$ .

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