Vecteur directeur et équation cartésienne

À propos de cette leçon

Seconde › Droites du plan

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Vecteur directeur et équation cartésienne

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite passe par A(1;1)A(1 ; 1) et B(3;4)B(3 ; 4). Quel vecteur est directeur ?

  1. (2;3)(2 ; 3)
  2. (3;2)(3 ; 2)

L'idée clé

Une droite a une équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0.

u⃗(−b;a)\vec{u}(-b ; a) est directeur de la droite ax+by+c=0ax + by + c = 0.

Un point MM est sur la droite passant par AA, de vecteur directeur u⃗\vec{u}, si det⁡(AM→,u⃗)=0\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0.

Exemple corrigé

Droite passant par A(1;2)A(1 ; 2), de vecteur directeur u⃗(3;1)\vec{u}(3 ; 1).

(x−1)×1−(y−2)×3=0(x - 1) \times 1 - (y - 2) \times 3 = 0
Déterminant.
x−3y+5=0x - 3y + 5 = 0
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : quelle valeur de cc pour 2x+y+c=02x + y + c = 0 passant par (1;1)(1 ; 1) ?

−3-3
2 + 1 + c = 0.

Entraînement ★

  1. La droite 5x+1y+c=05x + 1y + c = 0 passe par (5;4)(5 ; 4). Que vaut cc ?
  2. La droite 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0 passe par (1;4)(1 ; 4). Que vaut cc ?
  3. La droite 2x+1y+c=02x + 1y + c = 0 passe par (4;3)(4 ; 3). Que vaut cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel vecteur est directeur de 5x+8y−1=05x + 8y - 1 = 0 ?
    1. (−8;5)(-8 ; 5)
    2. (5;8)(5 ; 8)
    3. (8;5)(8 ; 5)
  2. Quel vecteur est directeur de 3x+8y−1=03x + 8y - 1 = 0 ?
    1. (−8;3)(-8 ; 3)
    2. (3;8)(3 ; 8)
    3. (8;3)(8 ; 3)
  1. Quel est un vecteur directeur de la droite y=2x+1y = 2x + 1 ?
    1. u⃗(1;2)\vec{u}(1 ; 2)
    2. u⃗(2;1)\vec{u}(2 ; 1)
    3. u⃗(1;1)\vec{u}(1 ; 1)
  1. Le point (3;y)(3 ; y) est sur la droite 1x−y+3=01x - y + 3 = 0. Que vaut yy ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La droite 5x+1y+c=05x + 1y + c = 0 passe par (5;4)(5 ; 4). Que vaut cc ?
  2. La droite 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0 passe par (1;4)(1 ; 4). Que vaut cc ?
  3. La droite 2x+1y+c=02x + 1y + c = 0 passe par (4;3)(4 ; 3). Que vaut cc ?

Fiche résumé

Équation cartésienne

  • ax+by+c=0ax + by + c = 0.
  • Directeur : (−b;a)(-b ; a).

Attention : on vérifie un point en le remplaçant.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Équation réduite et pente Retour au chapitre

Corrigé: Vecteur directeur et équation cartésienne

A

  1. −29-29
  2. −18-18
  3. −11-11

B

  1. (−8;5)(-8 ; 5)
  2. (−8;3)(-8 ; 3)

C

  1. u⃗(1;2)\vec{u}(1 ; 2)

D

  1. 66

E

  1. −29-29
  2. −18-18
  3. −11-11

CC BY-SA 4.0