Réels, intervalles et valeur absolue

À propos de cette leçon

Seconde › Nombres et ensembles

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Réels, intervalles et valeur absolue

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quels nombres appartiennent à [2;5[[2 ; 5[ ?

  1. 2 et 4
  2. 3 et 5

L'idée clé

Un intervalle se lit sur la droite des réels.

Figure non à l'échelle

[a;b][a ; b] inclut ses bornes ; ]a;b[]a ; b[ les exclut. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert : [a;+∞[[a ; +\infty[.

∣a∣|a| est la distance de aa à 0, ∣a−b∣|a - b| la distance entre aa et bb. ∣x−a∣≤r  ⟺  x∈[a−r;a+r]|x - a| \leq r \iff x \in [a - r ; a + r].

Exemple corrigé

Résous ∣x−3∣≤2|x - 3| \leq 2.

x∈[3−2;3+2]x \in [3 - 2 ; 3 + 2]
Distance à 3.
[1;5][1 ; 5]
On calcule.

À toi, guidé

À toi : que vaut ∣3−7∣|3 - 7| ?

44
Distance.

Entraînement ★

  1. L'ensemble des solutions de ∣x−2∣≤1|x - 2| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  2. L'ensemble des solutions de ∣x−8∣≤2|x - 8| \leq 2 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  3. L'ensemble des solutions de ∣x−3∣≤1|x - 3| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Lequel de ces nombres appartient à ]3;8]]3 ; 8] ?
    1. 88
    2. 33
    3. 99
  2. Lequel de ces nombres appartient à ]4;7]]4 ; 7] ?
    1. 77
    2. 44
    3. 88
  1. Le nombre 55 appartient-il à l'intervalle ]5;11]]5 ; 11] ?
    1. Non : le crochet est ouvert en 55
    2. Oui : c'est une borne
    3. Oui : 55 est plus petit que 1111
  1. Calcule ∣−8∣|-8|.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. L'ensemble des solutions de ∣x−2∣≤1|x - 2| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  2. L'ensemble des solutions de ∣x−8∣≤2|x - 8| \leq 2 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  3. L'ensemble des solutions de ∣x−3∣≤1|x - 3| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?

Fiche résumé

Intervalles

  • [a;b][a ; b] inclut les bornes.
  • ∣x−a∣≤r  ⟺  x∈[a−r;a+r]|x - a| \leq r \iff x \in [a - r ; a + r].

Attention : l'infini est toujours ouvert.

Fin de la leçon

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Corrigé: Réels, intervalles et valeur absolue

A

  1. 33
  2. 1010
  3. 44

B

  1. 88
  2. 77

C

  1. Non : le crochet est ouvert en 55

D

  1. 88

E

  1. 33
  2. 1010
  3. 44

CC BY-SA 4.0